已知函數(f(x)=frac{x}{lnx}-ax)

(1.)若函數(f(x))在((1,+∞))上是減函數，求實數(a)的最小值

(2.)若存在(x_1,x_2in [e,e^2])，使(f(x_1)le f^{'}(x_2)+a(a>0))成立，求實數(a)的取值范圍

解答：

(1.)

[f^{'}(x)=frac{lnx-1}{(lnx)^2}-a
]

[=-(frac{1}{lnx})^2+frac{1}{lnx}-a
]

[=-(frac{1}{lnx}-frac{1}{2})^2+frac{1}{4}-a
]

最大值在(x=e^2)取到，為(frac{1}{4}-a)

因為在((1,+∞))是減函數，所以(frac{1}{4}-ale 0)

所以(a=frac{1}{4})

(2.)

只要讓

[f_{min}(x)le f^{'}_{max}(x)+a
]

由(1.)得到，(f^{'}_{max}(x)=f^{'}(e^2)=frac{1}{4}-a)

[f_{min}(x)le frac{1}{4}
]

當函數在([e,e^2])不存在極值點，即(age frac{1}{4})時

(f(x))在([e,e^2])單調減

[f_{min}(x)=f(e^2)=frac{e^2}{2}-ae^2le frac{1}{4}
]

[age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}
]

[frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}>frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}
]

所以得出

[age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2}
]

當(0<a<frac{1}{4})時

[f^{'}(e)=-a<0
]

[f^{'}(e)=frac{1}{4}-a>0
]

所以(f(x))在([e,e^2])有極小值點(x_0)

[f_{min}(x)=f(x_0)=frac{x_0}{lnx_0}-ax_0le frac{1}{4}
]

[age frac{1}{lnx_0}-frac{1}{4x_0}>frac{1}{lne^2}-frac{1}{4e^2}>frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}
]

與(0<a<frac{1}{4})矛盾

所以(age frac{1}{2}-frac{1}{4e^2})

總結

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