第三章線性方程組數(shù)值解法解線性方程組 §3.1 直接法一、 Gauss　消去法設(shè) 有消 元： 用Matlab實(shí)現(xiàn)順序Gauss消去法在Matlab程序編輯器中輸入：function x=nagauss(a,b,flag) %解線形方程組ax=b，a為系數(shù)矩陣，b為右端列向量，flag若為0，則顯示中間過程，否則不顯示，默認(rèn)為0，x為解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b); a=[a,b];% 消元for k=1:(n-1) a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))-a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,endend % 回代x=zeros(n,1);x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(a(k,n+1)-a(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/a(k,k);end程序運(yùn)行結(jié)果：二 列主元素Gauss消去法---計(jì)算結(jié)果可靠到此原方程組化為 直到(n-1) 原方程組化為(上三角方程組) (3.2)以上為消元過程。(n) 回代求解公式 (3.3)系數(shù)矩陣為對稱正定陣或嚴(yán)格對角占優(yōu)陣的方程組按高斯消去法計(jì)算是數(shù)值穩(wěn)定的，因而不必選主元。嚴(yán)格對角占優(yōu)陣：至少有一個(gè)主對角線元素的絕對值嚴(yán)格大于此行或此列其他元素的絕對值之和。說明： (1)也可采用無回代的列主元消去法(叫Gauss- --Jordan消去法)，但比有回代的列主元消 去法的乘除運(yùn)算次數(shù)多。 (2)有回代的列主元消去法所進(jìn)行的乘除運(yùn)算 次數(shù)為 ，量很小。Gauss 列主元消去法： 優(yōu)點(diǎn) ------ 計(jì)算結(jié)果更可靠； 缺點(diǎn) ------ 挑主元花機(jī)時(shí)更多,次序有變動(dòng)，程序復(fù)雜。用Matlab實(shí)現(xiàn)選列主元Gauss消去法解線性方程組在Matlab程序編輯器中輸入：function x=nagauss2(a,b,flag) %a為系數(shù)矩陣；b為右端列向量；flag若為0，則顯示中間過程，否則不顯示if nargin<3,flag=0;endn=length(b); a=[a,b];% 選主元for k=1:(n-1)[ap,p]=max(abs(a(k:n,k)));p=p+k-1;if p>k,t=a(k,:); a(k,:)=a(p,:); a(p,:)=t; end% 消元 a((k+1):n,(k+1):(n+1))=a((k+1):n,(k+1):(n+1))-a((k+1):n,k)/a(k,k)*a(k,(k+1):(n+1)); a((k+1):n,k)=zeros(n-k,1); if flag==0,a,endend %回代x=zeros(n,1);x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(a(k,n+1)-a(k,(k+1):n)*x((k+1):n))/a(k,k);end程序運(yùn)行結(jié)果: 三．矩陣三角分解法 Gauss消元，初等行變換，化原方程組為上三角型。記，則 (三角因子分解) 叫的三角(因子)分解，其中 是定義3.1 下三角,是上三角。為單位下三角陣(對角元全為1)，定義3.2 若定義3.2 若為上三角陣，則稱 為Doolittle分解;若 是下三角， 是單位上三角，則稱 為Crout分解。 為什么要討論三角分解？若在消元法進(jìn)行前能實(shí) 現(xiàn)三角分解， 則從而容易回代求解。1．直接三角分解法(Doolittle分解為例)　　由矩陣乘法……………………… …….(k)例3．1用Matlab實(shí)現(xiàn)LU分解在Matlab程序編輯器中輸入：function [L,U]=nalu(a) % a為可逆方陣；L返回單位下三角矩陣；U返回上三角矩陣n=length(a);U=zeros(n,n);L=eye(n,n);U(1,:)=a(1,:);L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1);for k=2:n U(k,k:n)=a(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n); L(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);end程序運(yùn)行結(jié)果:2．平方根法定理3.1 設(shè)A對稱正定，則有非奇異下三角陣L，使分解方法：設(shè)3.列主元的三角分解法例4 對下面的增廣矩陣用列主元三角分解法分解。四、解三對角方程組——追趕法利用Gauss消元法得到同解的三角方程為 , (3.1)故有解(3.2)解(3.3) (3.1) —(3.3) 叫追

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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