第二類邊界條件

弦的橫振動方程 * 回顧 1、Delta函數(shù)及其性質 2、Laplace變換及其性質 3、Laplace變換的應用 (線性性質、位移性質、延遲性質、相似性質、 微分性質、積分性質、卷積性質) 第七章 數(shù)學物理定解問題 物理學中常見的數(shù)學物理方程 靜電勢和引力勢滿足的Laplace方程或Poisson方程 波的傳播問題中的波動方程 熱傳導問題和擴散問題中的熱傳導方程 連續(xù)介質力學中的Navier-Stokes方程組和Euler方程組 描寫電磁場運動變化的Maxwell方程組 作為微觀物質運動規(guī)律的Schr?dinger和Dirac方程 彈性力學中的de Saint-Venant方程組 二階線性偏微分方程(組) 靜電勢的Laplace方程或Poisson方程 由靜電場的性質： 或者: 在均勻導體中，靜電勢滿足Laplace方程： 在有電荷分布的區(qū)域，靜電勢滿足Poisson方程： (靜電場方程) 穩(wěn)定問題 1. 弦的微小橫振動 考察一根長為 且兩端固定、水平拉緊的弦． 討論如何將這一物理問題轉化為數(shù)學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確： 確定弦的運動方程 (2)被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律. (3)按物理定理寫出數(shù)學物理方程 要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設使方程簡化以便求解． 數(shù)學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點需具有一般性。 根據(jù)牛頓第二定律 方向運動的方程可以描述為： 作用于小段 的縱向合力應該為零： 僅考慮微小的橫振動， 夾角 為很小的量，忽略 及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有 注意到: 故得 這樣，我們就得到(忽略弦的重力)： 因此在微小橫振動條件下，可得出 又因為： 綜上，可得： 弦(自由)振動方程 (弦中的張力不隨 x 變化) 如果弦振動過程中受到橫向外力的作用，則振動方程應為： 弦的受迫振動方程 均勻桿的縱振動方程 均勻桿中 x 處 dx 段的運動方程為 可得 　 這就是桿的縱振動方程． 熱傳導方程 k 是熱傳導系數(shù)，c是比熱，ρ是密度。 擴散方程 D 是擴散系數(shù)。 量子力學中的Schr?dinger方程 如果勢能函數(shù)不顯含時間，則上述方程簡化為： 含時Schr?dinger方程 定態(tài)Schr?dinger方程 邊界條件與初始條件 由物理學規(guī)律出發(fā)得到的數(shù)學物理方程是某一類(或幾類) 物理現(xiàn)象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫某一個具體 的物理過程。例如從Newton第二運動定律得到的動力學方程并不 能唯一地確定質點的運動；完全確定質點的運動還需要有初始條 件。 一般地，要完全描寫一個具有確定解的物理問題，在數(shù)學上 就是要構成一個定解問題。除了微分方程之外，構成定解問題還 必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相 互作用，初始條件用于確定體系的歷史狀況。 初始條件 初始條件用于確定體系的歷史狀況，當所考察的物理現(xiàn)象 是隨時間變化的時候，需要確定體系的初始條件來唯一確定地 描述該現(xiàn)象。(穩(wěn)定問題不需要初始條件) 如對于傳導或擴散過程，需要初始條件確定體系的初始狀態(tài)： 對于振動過程，所需初始條件則需要包含速度的信息： 邊界條件 體系的邊界會影響體系的物理狀態(tài), 體系的邊界情況由邊界 條件確定. 邊界條件反應體系和外界的界面上的情況. 常見的邊界條件可以分為三類 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 *

總結

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