[數(shù)學(xué)]偏微分方程的離散化方法4

偏微分方程的離散化方法 一、離散化的概念 油藏是非均質(zhì)的，巖石和流體性質(zhì)伴隨時間常常是發(fā)生變化的，建立的偏微分方程一般是非線性的，求解偏微分方程的解析解比較困難，常用數(shù)值求解。 目前工程上應(yīng)用的離散化方法有：有限差分法、有限元法、邊界元法、變分法等。 離散化的核心是把整體分成若干單元來處理，而每個小單元的形狀是規(guī)則的，并可以認為是均質(zhì)的，從而把形狀不規(guī)則的非均質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為形狀規(guī)則的均質(zhì)的問題——非線性問題線性化。 計算過程中可以控制精度。要求的精度越高，則需要劃分的單元就越多，計算工作量相應(yīng)就越大，反之，單元劃分得少些，計算工作量就小，但精度變差些。 微分方程離散化，主要在空間和時間兩方面被離散化 (1)離散空間：把所研究的空間劃分成某種類型的網(wǎng)格，大的空間轉(zhuǎn)化為若干小單元組成，網(wǎng)格之間動態(tài)連接，通常采用矩形網(wǎng)格(正方體)。 (2)離散時間：把研究的時間域分成若干小的時間段，在每個時間段內(nèi)，對問題求解，時間段之間有機連接。步長大小取決于所要解決的實際問題。 1、網(wǎng)格系統(tǒng) 它有x，y兩個自變量，在平面上用平行線分割成許多網(wǎng)格，如考慮時間，則。編號：x→i，y→j，t→n。為步長(對三維z→k)。 節(jié)點：網(wǎng)格的交點叫網(wǎng)格節(jié)點。取一些與邊界s接近的網(wǎng)格節(jié)點，把他們連成折線Sh，Sh所圍成的區(qū)域記為Dh，Dh內(nèi)的節(jié)點為內(nèi)部節(jié)點、邊界上的節(jié)點為邊界節(jié)點。 2、 等距網(wǎng)格就是指建立差分網(wǎng)格時，所采用的步長都是相等的，反之稱為不等距網(wǎng)格。 3、網(wǎng)格類型 常規(guī)網(wǎng)格系統(tǒng)： (1)塊中心網(wǎng)格：用網(wǎng)格小塊的幾何中心來表示小塊的坐標 (2)點中心網(wǎng)格：用節(jié)點的坐標來表示小塊的坐標 塊中心網(wǎng)格和點中心網(wǎng)格的離散點數(shù)不同，但最終形成一樣的差分方程，只有在處理邊界條件時各有方便之處，塊中心網(wǎng)格比較容易處理定流量邊界，點中心網(wǎng)格比較容易處理定壓邊界。 非常規(guī)網(wǎng)格系統(tǒng)： (1)局部網(wǎng)格加密 (2)混合網(wǎng)格 (3)多邊形網(wǎng)格 二、有限差分法----導(dǎo)數(shù)的差商逼近 三、有限差分方程的建立 四、邊界條件的處理 (二)、外邊界條件處理 封閉邊界：常取塊中心網(wǎng)格并在邊界網(wǎng)格外虛擬一排網(wǎng)格，并令其相鄰兩個網(wǎng)格壓力相等。 定壓邊界：常取點中心網(wǎng)格，由于邊界點的壓力一定，因此，只需求內(nèi)部節(jié)點壓力。 * * 離散空間 t P 離散時間 無效網(wǎng)格 有效網(wǎng)格 點中心網(wǎng)格 塊中心網(wǎng)格 x y y z x 局部網(wǎng)格加密 模擬區(qū)網(wǎng)格圖(井位、邊界、斷層) 五點法注水開發(fā)5年后XW3層含水飽和度分布圖 五點法注水開發(fā)20年后XW3層含水飽和度分布圖 r z 混合網(wǎng)格 P x Δx1 Δx2 Δx (一)、內(nèi)邊界條件處理 *

總結(jié)

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