1、正則化與偏差-方差分解

1.1 Regularization

Regularization：減小方差的策略；

誤差可分解為偏差，方差與噪聲之和，即誤差=偏差+方差+噪聲之和；

偏差度量了學習算法的期望預測與真實結果的偏離程度，即刻畫了學習算法本身的擬合能力；

方差度量了同樣大小的訓練集的變動所導致的學習性能的變化，即刻畫了數據擾動所造成的影響；

噪聲則表達了在當前任務上任何學習算法所能達到的期望泛化誤差的下界；

下面通過一個線性回歸的例子理解方差和偏差的概念：

假如現在有一個一元線性回歸，如圖，訓練集是藍色的點，測試集是紅色的點，假如有一個模型能夠很好地擬合訓練集，如下如所示：

但是該模型在測試集的效果比較差，這就是一個典型的高方差，也就是過擬合現象。正則化策略的目的就是降低方差，減小過擬合的發生。

下面了解一下降低過擬合的正則化策略，這里主要學習L1和L2正則化策略。

1.2 損失函數

損失函數：衡量模型輸出與真實標簽的差異

損失函數：$$Loss=f(\hat{y},y)$$代價函數：$$Cost=\frac{1}{N}\sum _i^{N}f({\hat{y}}_i,y_i)$$目標函數：$$Obj=Cost+RegularizationTerm$$

L1 Regularization Term:$$\sum _i^N|w_i|$$L2 Regularization Term:$$\sum _i^N|w_i^2|$$

在分析L!和L2正則化的時候，經常看到下面這個圖：

左圖為L1正則化，右圖為L2正則化，圖中的彩色圓圈是損失函數的等高線，也就是公式中的cost，這里假設模型是一個二元模型，有兩個參數$w_1$和$w_2$。左圖中的黑色矩陣表示正則化的等高線，右圖和左圖的圖形意義一樣。

1.3 L2 Regularization

L2 Regularization = weight decay(權重衰減)

目標函數(Objective Function)：$$Obj=Cost+RegularizationTerm$$假設目標函數為$$Obj=Loss+\frac{\lambda }{2}?\sum _i^N{w}_i^2$$權重更新公式為$$w_{i+1}=w_i?\frac{?Obj}{?w_i}=w_i?\frac{?Loss}{?w_i}$$可以得到L2正則化的權重更新為$$w_{i+1}=w_i?\frac{?Obj}{?w_i}=w_i?(\frac{?Loss}{?w_i}+\lambda ?w_i)$$公式化簡為$$w_{i+1}=w_i?(1?\lambda )?\frac{?Loss}{?w_i}$$因為公式中存在$w_i?(1?\lambda )$，因此L2正則化也稱為權重衰減。

現在通過代碼看一下在一元線性模型上weight decay(L2正則化)的具體作用：

import torch import torch.nn as nn import matplotlib.pyplot as plt from common_tools import set_seed from torch.utils.tensorboard import SummaryWriterset_seed(1) # 設置隨機種子 n_hidden = 200 max_iter = 2000 disp_interval = 200 lr_init = 0.01# ============================ step 1/5 數據 ============================ def gen_data(num_data=10, x_range=(-1, 1)):w = 1.5train_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)train_y = w*train_x + torch.normal(0, 0.5, size=train_x.size())test_x = torch.linspace(*x_range, num_data).unsqueeze_(1)test_y = w*test_x + torch.normal(0, 0.3, size=test_x.size())return train_x, train_y, test_x, test_ytrain_x, train_y, test_x, test_y = gen_data(x_range=(-1, 1))# ============================ step 2/5 模型 ============================ class MLP(nn.Module):def __init__(self, neural_num):super(MLP, self).__init__()self.linears = nn.Sequential(nn.Linear(1, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, neural_num),nn.ReLU(inplace=True),nn.Linear(neural_num, 1),)def forward(self, x):return self.linears(x)net_normal = MLP(neural_num=n_hidden) net_weight_decay = MLP(neural_num=n_hidden)# ============================ step 3/5 優化器 ============================ optim_normal = torch.optim.SGD(net_normal.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9) optim_wdecay = torch.optim.SGD(net_weight_decay.parameters(), lr=lr_init, momentum=0.9, weight_decay=1e-2)# ============================ step 4/5 損失函數 ============================ loss_func = torch.nn.MSELoss()# ============================ step 5/5 迭代訓練 ============================writer = SummaryWriter(comment='_test_tensorboard', filename_suffix="12345678") for epoch in range(max_iter):# forwardpred_normal, pred_wdecay = net_normal(train_x), net_weight_decay(train_x)loss_normal, loss_wdecay = loss_func(pred_normal, train_y), loss_func(pred_wdecay, train_y)optim_normal.zero_grad()optim_wdecay.zero_grad()loss_normal.backward()loss_wdecay.backward()optim_normal.step()optim_wdecay.step()if (epoch+1) % disp_interval == 0:# 可視化for name, layer in net_normal.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_normal', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_normal', layer, epoch)for name, layer in net_weight_decay.named_parameters():writer.add_histogram(name + '_grad_weight_decay', layer.grad, epoch)writer.add_histogram(name + '_data_weight_decay', layer, epoch)test_pred_normal, test_pred_wdecay = net_normal(test_x), net_weight_decay(test_x)# 繪圖plt.scatter(train_x.data.numpy(), train_y.data.numpy(), c='blue', s=50, alpha=0.3, label='train')plt.scatter(test_x.data.numpy(), test_y.data.numpy(), c='red', s=50, alpha=0.3, label='test')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_normal.data.numpy(), 'r-', lw=3, label='no weight decay')plt.plot(test_x.data.numpy(), test_pred_wdecay.data.numpy(), 'b--', lw=3, label='weight decay')plt.text(-0.25, -1.5, 'no weight decay loss={:.6f}'.format(loss_normal.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.text(-0.25, -2, 'weight decay loss={:.6f}'.format(loss_wdecay.item()), fontdict={'size': 15, 'color': 'red'})plt.ylim((-2.5, 2.5))plt.legend(loc='upper left')plt.title("Epoch: {}".format(epoch+1))plt.show()plt.close()

在Pytorch中，weight_decay是在優化器中實現的，在代碼中構建了兩個優化器，一個優化器不帶有正則化，一個優化器帶有正則化。

代碼輸出的結果如下所示：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的pytorch —— 正则化之weight_decay的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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