第５期(總第１９２期) ２０１５年１０月 機械工程與自動化 ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　＆　ＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮ Ｎｏ．５Ｏｃｔ． 文章編號：１６７２－６４１３(２０１５)０５－０１７９－０２ 基于 ＭＡＴＬＡＢ的直線一級倒立擺的ＰＩＤ控制研究 王惠萍，孔慶忠 (內蒙古工業大學機械學院，內蒙古　呼和浩特　０１００５１) 摘要：對于倒立擺系統，由于其本身是自然不穩定的系統，實驗建模存在一定困難，假設忽略掉倒立擺的一些次要因素后，那么倒立擺系統就能夠看成是一個典型的運動剛體系統。介紹了直線一級倒立擺的控制機理，分析了直線一級倒立擺的建模過程，采用 ＭＡＴＬＡＢ 對倒立擺系統進行仿真模擬實驗，并對仿真結果進行分析。 關鍵詞：一級倒立擺；ＰＩＤ控制；仿真；ＭＡＴＬＡＢ中圖分類號：ＴＰ３９１．７　　　文獻標識碼：Ａ 收稿日期：２０１４－１１－２０；修訂日期：２０１５－０４－１３ 作者簡介：王惠萍 (１９９０－)，女，內蒙古呼和浩特人，在讀碩士研究生，研究方向：精密儀器及機械。 １　直線倒立擺的數學建模以及可行性分析計算直線一級倒立擺系統是典型的非線性不穩定系統，但其在科技應用中有著舉足輕重的作用。隨著我國航天技術的不斷發展，對倒立擺的分析研究有一定的實際意義。 直線一級倒立擺由小車、擺桿等部件構成，它們之間自由連接。直線一級倒立擺擺動的條件是：鉛錘的擺桿能夠在平面內自由擺動；小車需要在導軌上自由移動(不考慮摩擦等因素)。直線一級倒立擺系統結構簡圖如圖１所示。假定轉角和力矩以逆時針方向為 正。另外，我們規定以下記號： Ｍ 為擺桿的質量， Ｏ 為 旋轉點坐標， ｍ 為小車的質量， Ｄ 為擺桿質心坐標， Ｌ 為擺桿的長度， ｌ 為點 Ｏ 到點 Ｄ 的距離， ｆ １ 為小車與 導軌間的摩擦因數， Ｊ 為擺桿的轉動慣量， ｆ ２ 為擺桿 繞轉動軸的摩擦阻力矩系數， Ｆ 為外界作用力， φ 為擺 桿與垂直向上方向的夾角， ｘ 為小車距離原點的位移， 擺桿和小車的受力情況如圖２所示。 １．１　對擺桿進行運動學分析和數學建模分析圖２，建立直角坐標系，設旋轉點 Ｏ 和質心 Ｄ 的坐標分別為( Ｏｘ ， Ｏｙ )＝( ｘ ， ０)和( Ｄｘ ， Ｄｙ )＝( ｘ － ｌ ｓｉｎ φ ， ｌ ｃｏｓ φ )。 圖１　一級倒立擺的結構圖圖２　擺桿的受力分析圖所以擺桿水平方向受力為： Ｆｘ ＝ Ｍｘ″ － Ｍｌφ ″ ｃｏｓ φ ＋ Ｍｌφ ′ ２ｓｉｎ φ ． ( １) 則擺桿繞 Ｏ 點的力矩平衡方程為： ( Ｊ ＋ Ｍｌ ２) φ ″ ＝ Ｍｇｌ ｓｉｎ φ － ｆ ２ φ ＋ Ｍｘ″ｌ ｃｏｓ φ ． ( ２) １．２　對小車進行運動學分析和數學建模小車在水平方向上受力為： Ｆ － ｆ １ ｘ′ － Ｆｘ ＝ ｍｘ″ ． ( ３) 令 Ｔ ＝ ｍ ＋ Ｍ ， Ｖ ＝ Ｊ ＋ Ｍｌ ２， Ｕ ＝ Ｍｌ ，則一級倒立 擺運動的微分方程組為： Ｔ － Ｕ ｃｏｓ φ － Ｕ ｃｏｓ φ ( ) Ｖ ｘ″ φ ( ) ″ ＝ － ｆ １ － Ｕφ′ ｓｉｎ φ ０ － ｆ ［ ］ ２ ｘ′ φ ［ ］ ′ ＋ ０Ｕｇ ｓｉｎ ［ ］ φ ＋()１ ０ Ｆ ． ( ４) 　　將矩陣方程( ４)在穩定點附近線性化得到一級倒立擺的微分方程： Ｔ － Ｕ －( ) Ｕ Ｖ ｘ″ φ ( ) ″ ＝ － ｆ １ ０ ０ － ｆ ［ ］ ２ ｘ′ φ ［ ］ ′ ＋ ０Ｕ ［ ］ ｇ ｘ () φ ＋()１ ０ Ｆ ． ( ５) 以擺桿角度為輸出，其傳遞函數為： Φ ( ｓ )

總結

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