方差（Variance)

概率論

離散型隨機變量的數學期望：??，其中，是變量發生的概率。

連續型隨機變量的數學期望：?，其中，f(x)是概率密度。

方差值：，證明過程：

? ? ? ? ?假設：，則,則

? ? ? ? ?

統計學

?總體方差，也叫做有偏估計，其實就是我們從初高中就學到的那個標準定義的方差：

，其中，?為總體的均值，?為總體的標準差，?為總體的樣本數。

樣本方差，無偏方差，在實際情況中，總體均值是很難得到的，往往通過抽樣來計算，于是有樣本方差，計算公式如下：

或者，其中，?為樣本的均值，?為樣本的標準差，?為樣本的個數。

此處，為什么要將分母由n變成n-1，主要是為了實現無偏估計減小誤差，具體原理及推導公式可上網查閱，資料很多。

協方差（Covariance）

? ? ? ??協方差在概率論和統計學中用于衡量兩個變量的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變量是相同的情況。協方差表示的是兩個變量的總體的誤差，這與只表示一個變量誤差的方差不同。 如果兩個變量的變化趨勢一致，也就是說如果其中一個大于自身的期望值，另外一個也大于自身的期望值，那么兩個變量之間的協方差就是正值。 如果兩個變量的變化趨勢相反，即其中一個大于自身的期望值，另外一個卻小于自身的期望值，那么兩個變量之間的協方差就是負值。

其中，與分別為兩個實數隨機變量與的數學期望，為，的協方差。

標準差（Standard Deviation)

? ? ? ? 標準差也被稱為標準偏差,在中文環境中又常稱均方差，是數據偏離均值的平方和平均后的方根，用σ表示。標準差是方差的算術平方根。標準差能反映一個數據集的離散程度，只是由于方差出現了平方項造成量綱的倍數變化，無法直觀反映出偏離程度，于是出現了標準差，標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。

總體方差

?，其中，?為總體的均值，?為總體的標準差，?為總體的樣本數。

樣本方差

，其中，?為樣本的均值，?為樣本的標準差，?為樣本的個數。

標準誤（Standard error?of mean,SEM或SE)

? ? ? 樣本均值的標準誤

由固然存在的個體變異和抽樣造成的不同樣本均數之間的差異、樣本均數與總體均數之間的差異稱為均數的抽樣誤差（也稱標準誤），用于反映我們用樣本均數估計總體均數有多大的誤差。

若隨機變量均數為，方差為，則樣本均數的標準差（標準誤）為：。又根據正態分布原理，若隨機變量，則樣本均數。

實際應用中，總體標準差通常未知，需要用樣本標準差來估計標準誤。此時，均數標準誤的估計值為：

標準誤的大小與原變量的標準差成正比，與樣本含量的平方根成反比，因此，實際應用中可通過增加樣本含量來減少均數的標準誤，從而降低抽樣誤差。

例：2000年某研究所隨機調查某地健康成年男子27人，得到血紅蛋白的均數為125g/L，標準差為15g/L。試估計該樣均數的抽樣誤差。

注意：標準差描述的是度量值的變化，在此題中，標準差為15g/L，標準誤描述的是估計值的變化，在此題中，標準誤為2.89g/L，隨著樣本量n的增加，標準誤是會減小的，但是標準差是不變的。

樣本頻率的標準誤

從同一總體中隨機抽出觀察單位相等的多個樣本，樣本率與總體率及各樣本率之間都存在差異，稱為頻率的抽樣誤差。表示樣本頻率抽樣誤差大小的指標即為頻率的標準誤。

根據二項分布原理，若隨機變量，則樣本頻率的總體概率為，標準誤為。

頻率的標準誤愈小，用樣本頻率估計總體概率的可靠性愈好；反之，用樣本頻率估計總體概率的可靠性愈差。

實際應用中，總體概率通常未知，需要用樣本頻率來近似的代替。得到頻率標準誤的估計值為：

頻率的標準誤與樣本含量的平方根成反比，因此，增加樣本含量可以減少樣本頻率的抽樣誤差（標準誤）。

例：某市隨機調查了50歲以上的中老年婦女776人，其中患有骨質酥松癥者322人，患病率為41.5%，試計算該樣本頻率的抽樣誤差。

總體標準誤的估計值較小，說明用樣本患病率41.5%來估計患病率的可靠性較好。

均方誤差（mean-square error, MSE）

? ? ? ? 均方誤差是反映估計量與被估計量之間差異程度的一種度量，換句話說，參數估計值與參數真值之差的平方的期望值。MSE可以評價數據的變化程度，MSE的值越小，說明預測模型描述實驗數據具有更好的精確度。

,其中表示估計量，表示被估計量。

均方根誤差（root mean squared error，RMSE）

均方根誤差亦稱標準誤差，是均方誤差的算術平方根。換句話說，是觀測值與真值(或模擬值)偏差(而不是觀測值與其平均值之間的偏差)的平方與觀測次數n比值的平方根，在實際測量中，觀測次數n總是有限的，真值只能用最可信賴（最佳）值來代替。標準誤差對一組測量中的特大或特小誤差反映非常敏感，所以，標準誤差能夠很好地反映出測量的精密度。這正是標準誤差在工程測量中廣泛被采用的原因。因此，標準差是用來衡量一組數自身的離散程度，而均方根誤差是用來衡量觀測值同真值之間的偏差。

?

?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的统计学基础——方差、协方差、标准差（标准偏差/均方差）、标准误、均方误差、均方根误差(标准误差)的区别的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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