【問題描述】[中等]

寫一個函數，輸入 n ，求斐波那契（Fibonacci）數列的第 n 項。斐波那契數列的定義如下：F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1. 斐波那契數列由 0 和 1 開始，之后的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

【解答思路】

1. 動態規劃

時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(1)

class Solution {public int fib(int n) {if(n == 0) return 0;int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++){dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];dp[i] %= 1000000007;}return dp[n];} }

2. 動態規劃空間復雜度優化

dp[n + 1] -> abc

時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(1)

public int fib(int n) {if(n==0 ){return 0;}if(n==1 ){return 1;}int a = 0;int b = 1;int c = 0;for(int i =2; i<=n;i++){c =(a +b)%1000000007;a = b ;b = c ;}return c;}

3. 遞歸（超時）

時間復雜度：O(2^N) 空間復雜度：O(1)

public int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n==1) return 1;return (fib(n-1)+fib(n-2))%1000000007;}

4. 記憶化遞歸

時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(1)

class Solution {public int fib(int n) {if(n == 0) return 0;int[] memorization = new int[n+1]; //用于存儲第0~n個數對應的值memorization[1] = 1; //第一二個數先定義好，由于第一個數是0，默認即可不用寫出return Fibonacci(n,memorization);}public int Fibonacci(int n,int[] memo) {if(n < 2 ) //當n等于0或1時，將不再往下遞歸，直接返回記憶化結果對應的值return memo[n];if(memo[n] > 0) //當遇到之前計算過的數時，將不再遞歸往下找，直接用記憶化結果return memo[n];memo[n] = (Fibonacci(n - 2, memo) + Fibonacci(n - 1, memo)) % 1000000007;return memo[n];} }

【總結】

1.取余原因

“int32類型是十位數，對1e9取模可防止int32溢出”、“1e9+7是質數，對質數取模可以盡可能地讓模數避免相等”以及“1e9+7是離1e9最近的質數，比較好記”

2.動態規劃和記憶化遞歸區別

原理類似，動態規劃有可能把空間復雜度降至 O(1)

3. 一開始就想到了方法二，其實方法二來源于動態規劃的優化

轉載鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/solution/mian-shi-ti-10-i-fei-bo-na-qi-shu-lie-dong-tai-gui/

總結

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