数学建模之微分方程模型详解
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作者：[左手の明天]
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目錄
微分方程知識簡介
微分方程的體系
0．常數(shù)變易法
1．初等積分法
2．一階線性微分方程組
3．高階線性微分方程
4．常微分方程的基本定理
5．常微分方程的穩(wěn)定性理論
6．常微分方程的定性理論
數(shù)學建模的微分方程方法
1．利用題目本身給出的或隱含的等量關系建立微分方程模型
2．從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微分方程模型
3．利用導數(shù)的定義建立微分方程模型
4．利用微元法建立微分方程模型
常見微分方程模型
1、人口問題
常微分方程模型
差分方程模型
偏微分方程模型
2、作戰(zhàn)模型
正規(guī)作戰(zhàn)模型?
游擊作戰(zhàn)模型
混合作戰(zhàn)模型
3、傳染病模型?
SI模型1
SI模型2
帶宣傳效應的SI模型3
SIS模型
SIR模型
4、藥物試驗模型?
問題的提出
問題分析
模型假設
模型建立
5、油畫中的放射性物質
微分方程知識簡介
要掌握常微分方程的一些基礎知識，對一些可以求解的微分方程及其方程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的體系
- (1)初等積分法（一階方程及幾類可降階為一階的方程）
- (2)一階線性微分方程組（常系數(shù)線性微分方程組的解法）
- (3)高階線性微分方程（高階線性常系數(shù)微分方程解法）。其中還包括了常微分方程的基本定理。
0．常數(shù)變易法
常數(shù)變易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出現(xiàn)過，它是由線性齊次方程（一階或高階）或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應的非齊次方程或方程組的解的一種方法。
1．初等積分法
掌握變量可分離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分方程（含積分因子）的解法，會一些一階隱式微分方程的解法（參數(shù)法），會幾類可以降階的高階方程的解法（恰當導數(shù)方程）。
分離變量法：
（1）可分離變量方程：
（2）齊次方程：
?常數(shù)變易法：
（1）線性方程
（2）伯努里方程?
積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。
對于一階隱式微分方程，有
參數(shù)法：
（1）不含x或y的方程：
（2）可解出x或y的方程：
對于高階方程，有?
降階法：
2．一階線性微分方程組
- 一是一階線性微分方程組的基本理論（線性齊次、非齊次微分方程組的通解結構，劉維爾公式等）
- 二是常系數(shù)線性微分方程組的解法（求特征根，單根與重根[待定系數(shù)法]），
- 三是常數(shù)變易法。如線性空間，向量的線性相關與線性無關，基與維數(shù)，特征方程、特征根與特征向量，矩陣的若當標準型等。
3．高階線性微分方程
了解高階線性微分方程的基本理論（線性齊次、非齊次微分方程的通解結構，劉維爾公式等）；
n階線性常系數(shù)微分方程解法：
- （1）求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的待定指數(shù)函數(shù)法；
- （2）求一般非齊次線性方程解的常數(shù)變易法；
- （3）求特殊型非齊次常系數(shù)線性方程解的待定系數(shù)法；
- （4）求解初值問題的拉普拉斯變換法；
- （5）求二階線性方程的冪級數(shù)解法。
4．常微分方程的基本定理
常微分方程的幾何解釋（線素場），初值問題解的存在與唯一性定理（條件與結論），求方程的近似解（歐拉折線法與畢卡逐次逼近法），解的延展定理與比較定理、唯一性定理證明解的存在區(qū)間（如為左右無窮大），奇解與包絡線，克萊羅方程。
5．常微分方程的穩(wěn)定性理論
掌握穩(wěn)定性的一些基本概念，以及運用特征根法判斷常系數(shù)線性方程（組）的解的穩(wěn)定性，運用李雅普諾夫函數(shù)法判斷一般方程（組）的解的穩(wěn)定性。
6．常微分方程的定性理論
掌握定性理論的一些基本概念，運用特征根法判斷奇點類型，極限環(huán)。
差分方程
偏微分方程
數(shù)學建模的微分方程方法
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各種類型的方程組建模。
微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的數(shù)學手段，對于現(xiàn)實世界的變化，人們關注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示，微分方程建模適用的領域比較廣，利用它可建立純數(shù)學（特別是幾何）模型，物理學（如動力學、電學、核物理學等）模型，航空航天（火箭、宇宙飛船技術）模型，考古（鑒定文物年代）模型，交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間）模型，生態(tài)（人口、種群數(shù)量）模型，環(huán)境（污染）模型，資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡問題、動植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，醫(yī)學（流行病、傳染病問題）模型，經(jīng)濟（商業(yè)銷售、財富分布、資本主義經(jīng)濟周期性危機）模型，戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。
其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。
下面，我們給出如何利用方程知識建立數(shù)學模型的幾種方法。
1．利用題目本身給出的或隱含的等量關系建立微分方程模型
這就需要仔細分析題目，明確題意，找出其中的等量關系，建立數(shù)學模型。
例如在光學里面，旋轉拋物面能將放在焦點處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行光線，為了證明具有這一性質的曲線只有拋物線，我們就是利用了題目中隱含的條件——入射角等于反射角來建立微分方程模型的。
又如在天文學、氣象學中常用到的等角軌線，已知曲線或曲線族(c)，求曲線l（等角軌線或正交軌線），使l與(c)中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，即曲線的l切線相交成給定的角度，這樣，就在它們的導數(shù)之間建立了聯(lián)系），又題目中隱含的條件是：在l與(c)中曲線相交點處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求l出已知曲線或曲線族的微分方程，根據(jù)它們之間的聯(lián)系，就可以建立等角軌線的微分方程模型，從而求出等角軌線的方程。
2．從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微分方程模型
要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如從幾何觀點看，曲線y=y(x)上某點的切線斜率即函數(shù)y=y(x)在該點的導數(shù)；
力學中的牛頓第二運動定律：f=ma，其中加速度a就是位移對時間的二階導數(shù)，也是速度對時間的一階導數(shù)；
電學中的基爾霍夫定律等。
從這些知識出發(fā)可以建立相應的微分方程模型。
例如在動力學中，如何保證高空跳傘者的安全問題。對于高空下落的物體，我們可以利用牛頓第二運動定律建立其微分方程模型，設物體質量為m，空氣阻力系數(shù)為k，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設時刻t時物體的下落速度為v，初始條件：。由牛頓第二運動定律建立其微分方程模型：
?求解模型可得：
由上式可知，當時，物體具有極限速度：
其中，阻力系數(shù)，為與物體形狀有關的常數(shù)，為介質密度，s為物體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在一定時，要求落地速度v1不是很大時，我們可以確定出s來，從而設計出保證跳傘者安全的降落傘的v1直徑大小來。?
3．利用導數(shù)的定義建立微分方程模型
導數(shù)是微積分中的一個重要概念，其定義為?
?商式表示單位自變量的改變量對應的函數(shù)改變量，就是函數(shù)的瞬時平均變化率，因而其極限值就是函數(shù)的變化率。函數(shù)在某點的導數(shù)，就是函數(shù)在該點的變化率。由于一切事物都在不停地發(fā)展變化，變化就必然有變化率，也就是變化率是普遍存在的，因而導數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導數(shù)與實際聯(lián)系起來，建立描述研究對象變化規(guī)律的微分方程模型。
例如在考古學中，為了測定某種文物的絕對年齡，我們可以考察其中的放射性物質（如鐳、鈾等），已經(jīng)證明其裂變速度（單位時間裂變的質量，即其變化率）與其存余量成正比。我們假設時刻t時該放射性物質的存余量R是t的函數(shù)，由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型：
其中k是一正的比例常數(shù)，與放射性物質本身有關。求解該模型，解得：
其中c是由初始條件確定的常數(shù)。從這個關系式出發(fā)，我們就可以測定某文物的絕對年齡。（參考碳定年代法）
4．利用微元法建立微分方程模型
一般的，如果某一實際問題中所求的變量p符合下列條件：p是與一個變量t的變化區(qū)間[a, b]有關的量；p對于區(qū)間[a, b]具有可加性；部分量的近似值可表示為。那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型，其步驟是：
- 首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如t為自變量，并確定其變化區(qū)間[a, b]；
- 在區(qū)間[a, b]中隨便選取一個任意小的區(qū)間并記作[t, t+dt]，求出相應于這個區(qū)間的部分量的近似值。如果能近似的標示為[a, b]上的一個連續(xù)函數(shù)在t處的值與dt的乘積，我們就把f(t)dt稱為量p的微元且記作dp。
這樣，就可以建立起該問題的微分方程模型：dp=f(t)dt。對于比較簡單的模型，兩邊積分就可以求解該模型。?
例如在幾何上求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉曲面的面積、旋轉體體積、空間立體體積；代數(shù)方面求近似值以及流體混合問題；物理上求變力做功、壓力、平均值、靜力矩與重心；這些問題都可以先建立他們的微分方程模型，然后求解其模型。
在2005年的全國大學生數(shù)學建模競賽A題（原題見競賽試題）中，對于長江流域的三類主要污染物----溶解氧，高錳酸鹽指數(shù)與氨氮污染，運用微元法，建立了其含參數(shù)的微分方程模型，并用平均值法估計出了其參數(shù)，具體求出了他們的解，之后，又給出了他們統(tǒng)一的微分方程模型及其求解公式。?
常見微分方程模型
1、人口問題
人口問題是當今世界上人們最關心的問題之一，影響人口增長的因素很多：人口的基數(shù)、人口的自然增長率及各種擾動因素。英國人口統(tǒng)計學家Malthus在擔任牧師期間，查看了教堂一百多年人口出生統(tǒng)計資料，發(fā)現(xiàn)人口出生率穩(wěn)定于一個常數(shù)，與1798年提出了著名的Malthus人口模型。他的基本假設是：在考慮人口隨時間變化的人口自然增長過程中，凈相對增長率（出生率與死亡率之差）是常數(shù)，即單位時間內人口的增長量與人口成正比，比例系數(shù)為r
常微分方程模型
設N(t)為時刻t人口總數(shù)，r=m-n為人口的增長率，其中m,n分別為出生率與死亡率，他們可以是t的函數(shù)。1798年，英國神父Malthus建立了最簡單的人口增長模型為
得出了人口按幾何級數(shù)增長的結論。此結論在短時期內與人口的實際增長吻合得比較好，時間越長誤差越大。經(jīng)過對一些地區(qū)具體人口資料的分析，發(fā)現(xiàn)在人口基數(shù)較少時，人口的繁衍增長起重要作用，人口的自然增長率r基本為常數(shù)，但隨著人口基數(shù)的增加，人口增長將越來越受自然資源、環(huán)境條件等的限制。此時人口的自然增長率是變化的，即人口的自然增長率與人口數(shù)量有關。
?1837年，荷蘭生物學家P.F. Verhulst修改了上述模型，引入本地區(qū)自然資源和環(huán)境條件允許下的最大人口數(shù)目為P0，給出了類似于電感器產(chǎn)生阻抗的生物反饋因子，將Malthus模型中的假設條件“人口自然增長率r為常數(shù)”，修正為人口自然增長率為，得出上述模型的修正模型
該模型為著名的Logistic(邏輯斯諦)模型，方程為變量分離方程，帶入初始條件，可以求出其解。?
上述模型對單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述。?
差分方程模型
上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結構，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定。但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著明顯的不同。
考慮按年齡分組的種群增長模型，介紹Leslie在20世紀40年代建立的一個具有年齡結構的人口離散模型。
將人口按年齡劃分成m個年齡組，即1，2，……，m組。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡。現(xiàn)將時間也離散為時段，k=1,2,3,……，并且的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時段第i年齡組的種群數(shù)量為，記時段種群各年齡組的分布向量為
?
則可以建立人口增長的差分方程模型為?
?
此處L為已知矩陣。當時段各年齡組的人數(shù)已知時，即X(0)已知時，可以求得時段的按年齡組的分布向量X(k)為?
?
由此可以算出各時段的種群總量。
偏微分方程模型
當要考察的量同時與兩個變量有關時，要想描述其變化率的關系，則通常要用偏微分方程模型來描述。
下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)模型。
設x表示年齡，t表示時間，N(x,t)表示t時刻年齡小于x的人口總數(shù)，記為人類壽命的上限，N(t)為t時的總人口數(shù)，設為人口密度，為死亡率函數(shù)。另外，給出初始條件和邊界條件，記最近一次人口普查的時間為t=0，從而為已知，記為t時刻單位時間內出生的人口數(shù)，則可得到如下的連續(xù)人口發(fā)展的偏微分方程模型
?
由偏微分方程理論，我們可以求出人口密度函數(shù)P(x,t)。?
2、作戰(zhàn)模型
問題的提出
影響一個軍隊戰(zhàn)斗力的因素是多方面的，而具體到一次戰(zhàn)爭的勝負，部隊采取的作戰(zhàn)方式同樣至關重要，此時作戰(zhàn)空間同樣成為討論一個作戰(zhàn)部隊整體戰(zhàn)斗力的一個不可忽略的因素。本節(jié)介紹幾個作戰(zhàn)模型，導出評估一個部隊綜合戰(zhàn)斗力的一些方法，以預測一場戰(zhàn)爭的大致結局。
模型分析
甲乙兩支部隊互相交戰(zhàn)，在整個戰(zhàn)爭期間，雙方的兵力在不斷發(fā)生變化，而影響兵力變化的諸多因素轉化為數(shù)量非常困難。為此，我們作如下假定把問題簡化。
- 1. x(t) , y(t) 表示甲乙雙方在時刻 t ?的人數(shù)， x(0)=x0 ,y(0)=y0 分別表示甲乙雙方在開戰(zhàn)時的初始人數(shù)，x0 > 0, y0 >0；
- 2. 設x(t) , y(t)是連續(xù)變化的，并且充分光滑；
- 3. 每一方的戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力，不妨以f(x,y) , g(x,y)分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率；
- 4. 每一方的非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑以及其他非作戰(zhàn)事故因素所導致的一個部隊減員），它通常可被設與本方的兵力成正比，比例系數(shù)分別對應甲乙雙方；
- 5. 每一方的增援率，它通常取決于一個已投入戰(zhàn)爭部隊以外的因素，甲乙雙方的增援率函數(shù)分別以u(t) , v(t) 表示。
模型建立
根據(jù)假設得到一般的戰(zhàn)爭模型?
正規(guī)作戰(zhàn)模型?
模型假設
- 1.不考慮增援，并忽略非戰(zhàn)斗減員；
- 2.甲乙雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)，每一方士兵的活動均公開，處于對方士兵的監(jiān)視與殺傷范圍之內，一旦一方的某個士兵被殺傷，對方的火力立即轉移到其他士兵身上。
因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率僅與對方的兵力有關，簡單的設為是正比例關系，以b 、a 分別表示甲乙雙方單個士兵在單位時間的殺傷力，稱為戰(zhàn)斗有效系數(shù)。 以rx 、ry ? 分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，它們通常主要取決于部隊的武器裝備；以 px 、py 分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，它們主要取決于士兵的個人素質，則有
模型建立
正規(guī)作戰(zhàn)數(shù)學模型的一般形式
由假設2，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率分別為?
于是得正規(guī)作戰(zhàn)的數(shù)學模型
?
模型求解
借助微分方程圖解法求解。注意到相平面是指把時間 t作為參數(shù)，以 為坐標的平面，而軌線是指相平面中由方程組的解所描述出的曲線。借此可以在相平面上通過分析軌線的變化討論戰(zhàn)爭的結局。?
求解軌線方程。將模型方程的一式除以二式，得到
用分離變量法得該模型的解?
平方律的雙曲線
?
戰(zhàn)爭結局分析
模型解確定的圖形是一條雙曲線，箭頭表示隨著時間t的增加，x(t)、y(t)的變化趨勢。而評價雙方的勝負，總認定兵力先降為“零”（全部投降或被殲滅）的一方為敗。因此，如果 K＜0，則乙的兵力減少到時甲方兵力降為“零”，從而乙方獲勝。同理可知，K＞0時，甲方獲勝。而當 ? ? K=0時，雙方戰(zhàn)平。
甲方獲勝的充要條件為
?
代入a 、b 的表達式，進一步可得甲方獲勝的充要條件為?
?
故可找到一個用于正規(guī)作戰(zhàn)部隊的綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)：?
式中Z表示參戰(zhàn)方的初始人數(shù)，可以取甲方或乙方。綜合戰(zhàn)斗力的評價函數(shù)暗示參戰(zhàn)方的綜合戰(zhàn)斗力與參戰(zhàn)方士兵的射擊率（武器裝備的性能）、士兵一次射擊的（平均）命中率（士兵的個人素質）、士兵數(shù)的平方均服從正比例關系。?
模型應用
正規(guī)作戰(zhàn)模型在軍事上得到了廣泛的應用，主要是作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)斗條件比較相當，方式相似。J.H.Engel就曾經(jīng)用正規(guī)戰(zhàn)模型分析了著名的硫磺島戰(zhàn)役，發(fā)現(xiàn)和實際數(shù)據(jù)吻合得很好。
游擊作戰(zhàn)模型
模型假設
- 1.不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；
- 2.甲乙雙方均以游擊作戰(zhàn)方式，每一方士兵的活動均具有隱蔽性，對方的射擊行為局限在某個范圍考慮可以被認為是盲目的。因此，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率不光與對方的兵力有關，同樣設為是正比關系；而且與自己一方的士兵數(shù)有關，這主要是由于其活動空間的限制所引起的，士兵數(shù)越多，其分布密度會越大，顯然二者服從正比例關系，這樣對方投來的一枚炮彈的平均殺傷力（期望值）也會服從正比例關系增加；
- 3.若以、分別表示甲乙雙方的有效活動區(qū)域的面積，以、分別表示甲乙雙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，以 、分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，、 、 、 主要取決于部隊的武器裝備的性能和貯備； 、也取決于士兵的個人素質。所以甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，乙方戰(zhàn)斗有效系數(shù) ?
模型建立
游擊作戰(zhàn)模型的形式：
?
?由假設2、3，甲乙雙方的戰(zhàn)斗減員率分別為
結合以上兩表達式，并代入 c、d 的值，可得游擊作戰(zhàn)的數(shù)學模型
模型求解
類似正規(guī)作戰(zhàn)模型的處理，從模型方程可以得到?
?進而可得該模型的解
其中?
在相平面中畫出如下軌線圖
混合作戰(zhàn)模型
模型假設
- 1.不考慮增援，忽略非戰(zhàn)斗減員；
- 2.甲方以游擊作戰(zhàn)方式，乙方以正規(guī)作戰(zhàn)方式；
- 3.以 b 、c分別表示甲乙雙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，若以? 、?分別表示甲乙雙方單個士兵的射擊率，以 、 分別表示甲乙雙方士兵一次射擊的（平均）命中率，以表示甲方的有效活動區(qū)域的面積，以表示乙方一枚炮彈的有效殺傷范圍的面積，則 ? ? ? ? ? ? ? ，
模型建立
混合作戰(zhàn)的數(shù)學模型：?
模型求解
該模型的解：
?在相平面中畫出如下軌線圖
?
模型應用
假定以正規(guī)作戰(zhàn)的乙方火力較強，以游擊作戰(zhàn)的甲方雖火力較弱，但活動范圍較大，利用上式可以估計乙方為了獲勝需投入多大的初始兵力。不妨設， ，，活動區(qū)域 平方千米，乙方每次射擊的有效面積平方米，則可得乙方獲勝的條件為：
即，乙方必須10倍于甲方的兵力。?
3、傳染病模型?
問題的提出
上世紀初，瘟疫還經(jīng)常在世界的某些地區(qū)流行，被傳染的人數(shù)與哪些因素有關？如何預報傳染病高潮的到來？為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變？?
問題分析
社會、經(jīng)濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，在建立模型時不可能考慮所有因素，只能抓住關鍵的因素，采用合理的假設，進行簡化。 把傳染病流行范圍內的人群分成三類：S類，易感者（SusceptibleI )類；感病者（Infective）；R類，移出者（Removal）
SI模型1
模型假設
- 1.每個病人在單位時間內傳染的人數(shù)為常數(shù)k0；
- 2.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內不會死亡。
記時刻t的得病人數(shù)為i(t)，開始時有個傳染病人，則在時間內增加的病人數(shù)為?
?
?得：
?其解為：
模型分析與解釋
這個結果與傳染病初期比較吻合，但它表明病人人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無限增加，顯然與實際不符
SI模型2
記時刻t的健康者人數(shù)為s(t)
模型假設
- 1.總人數(shù)為常數(shù)n，且 i(t)+s(t)=0；
- 2.單位時間內一個病人能傳染的人數(shù)與當時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為 k（傳染強度）；
- 3.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內不會死亡。
在此假設下可得微分方程
?解得：
模型分析
易得的極大值點為：。當傳染強度k增加時，將變小，即傳染高峰來得快，這與實際情況吻合。但當時，，這意味著最終人人都將被傳染，顯然與實際不符。
帶宣傳效應的SI模型3
模型假設
1.單位時間內正常人被傳染的比率為常數(shù) ；
2.一人得病后，經(jīng)久不愈，人在傳染期內不會死亡。 由導數(shù)的含義和假設，易得微分方程：
?
解得：
假設宣傳運動的開展將使得傳染上疾病的人數(shù)減少，減少的速度與總人數(shù)成正比，這個比例常數(shù)取決于宣傳強度。若從開始，開展一場持續(xù)的宣傳運動，宣傳強度為a，則有數(shù)學模型為?
?
?其中：為Heaviside函數(shù)。求得微分方程的解為：
?表明持續(xù)的宣傳是起作用的，最終會使發(fā)病率減少。
如果宣傳運動是短暫進行的，這在日常生活中是常見的，例如僅僅是聽一個報告，或街頭散發(fā)傳單等，即在等m個時刻進行m次宣傳，宣傳強度分別為 ，則模型變?yōu)?
?
解得：?
?
但此時有，這表明短暫的宣傳是不起作用的，最終還是所有的人 都染上了疾病。?
SIS模型
有些傳染病如傷風、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定無免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是說痊愈的感染者將再次進入易感者的人群。
模型假設
1.總人數(shù)為常數(shù)n，且i(t)+s(t)=0；
2.單位時間內一個病人能傳染的人數(shù)與當時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為 k（傳染強度）；
3.感病者以固定的比率 h痊愈，而重新成為易感者。
?該假設下的模型為：
?
?其解為：
?
?或
?
模型分析
時，；時，。這里出現(xiàn)了傳染病學中非常重要的閾值概念，或者說門檻（threshhold）現(xiàn)象，即 是一個門檻
SIR模型
大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他們將被移出傳染系統(tǒng)，我們稱之為移出者，記為R類。?
模型假設
1.總人數(shù)為常數(shù)n，且i(t)+s(t)+r(t)=n；
2.單位時間內一個病人能傳染的人數(shù)與當時健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為 k（傳染強度）；
3.單位時間內病愈免疫的人數(shù)與當時的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)為l，稱為恢復系數(shù)。
該假設下的模型為：?
?
取初值：??
?把前面的兩個方程相除，并整理，有：
解之得:
模型分析
易得；而當時，i(t)單調下降趨于零；時，i(t)?先單調上升到最高峰，然后再單調下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門檻現(xiàn)象：是一個門檻。
從的意義可知，應該降低傳染率，提高恢復率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。
令 可得
假定，可得：
若記，則 ，這也就解釋了本文開頭的為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時，被傳染的人數(shù)大致不變的問題。
4、藥物試驗模型?
問題的提出
藥物進入機體后，在隨血液運輸?shù)礁鱾€器官和組織的過程中，不斷地被吸收，分布，代謝，最終排除體外。藥物在血液中的濃度，即單位體積血液（毫升）中藥物含量（微克或毫克），稱血藥濃度，隨時間和空間（機體的各部位）而變化。血藥濃度的大小直接影響到藥物的療效，濃度太低不能達到預期的效果，濃度太高又可能導致藥物中毒，副作用太強或造成浪費。因此研究藥物在體內吸收，分布和排除的動態(tài)過程，及這些過程與藥理反應間的定量關系（即數(shù)學模型），對于新藥研究，劑量確定，給藥方案設計等藥理學和臨床醫(yī)學的發(fā)展都有重要的指導意義和使用價值。
問題分析
房室是指機體的一部分，藥物在一個房室內呈均勻分布，即血藥濃度是常數(shù)，而在不同房室之間則按照一定規(guī)律進行藥物的轉移，一個機體分為幾個房室，要看不同藥物的吸收，分布，排除過程的具體情況，以及研究對象所要求的精度而定。現(xiàn)在我們只討論二室模型，即將機體分為血藥較豐富的中心室（包括心，肺，腎等器官）和血液較貧乏的周邊室（四肢，肌肉組織等）。藥物的動態(tài)過程在每個房室內室一致的，轉移只在兩個房室之間以及某個房室與體外之間進行。二室模型的建立和求解方法可以推廣到多室模型。
模型假設
1.機體分為中心室（1室）和周邊室（2室），兩個室的容積（即血藥體積或藥物分布容積）在過程中保持不變。
2.藥物從一室向另一室的轉移速率，及向體外的排除速率，與該室的血藥濃度成正比。
3.只有中心室與體外有藥物交換，即藥物從體外進入中心室，最后又從中心室排除體外。與轉移和排除的數(shù)量相比，藥物的吸收可以忽略。
模型建立
在二室模中設
- 1. ?,? 和分別表示第i室（i=1,2）的血藥濃度，藥量和容積； ?
- 2. 表示第i室向第j室藥物轉移速率系數(shù)；
- 3. 是藥物從1室向體外排除的速率系數(shù)；
- 4. 是給藥速率，由給藥方式和劑量確定?
?為方便問題的表述和研究，畫出二室模型示意圖如下：
?
注意到的變化率由1室向2室的轉移 ，1室向體外的排除，2室向1室的轉移及給藥 組成；的變化率由1室向2室的轉移 及2室向1室的轉移 組成。利用函數(shù)導數(shù)的特點和含義，根據(jù)假設條件和上圖，可以寫出兩個房室中藥量 ?滿足的微分方程為
?
與血藥濃度 ，房室容積之間顯然有關系式
?
?代入（1）式可得數(shù)學模型
?
至此，將問題變?yōu)榱藬?shù)學問題。 上式中只要給定給藥方式函數(shù)的具體形式就可以進行微分方程組的求解。
給藥方式函數(shù)的數(shù)學描述與對應的給藥方式有如下3種：?
1.快速靜脈注射
這種注射為在t =0的瞬時將劑量D0的藥物輸入中心室，血藥濃度立即上升為D0/V1，它可以用數(shù)學表示為
?
2.恒速靜脈滴注
當靜脈滴注的速率為常數(shù)k0時，可以用數(shù)學表述為?
?
3.口服或肌肉注射
這種給藥方式相當于在藥物輸入中心室之前先有一個將藥物吸收入血藥的過程，可以簡化為有一個吸收室，如下圖。?
?
?為吸收室的藥量，藥物由吸收室進入中心室的轉移速率系數(shù) 為，于是滿足
?
表示先瞬時吸入全部藥量，然后藥量在體內按比例減少（指數(shù)衰減），D0是給藥量。而藥物進入中心室的速率為，求解有?
?
?在這種情況下，有數(shù)學描述為
?
5、油畫中的放射性物質
白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時， Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。
?
模型假設?
（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對17 世紀的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用r表示。?
（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變數(shù)與鉛210的衰變數(shù)可視為相等。?
模型建立?
?設t時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量為y(t)；為制造時刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)量；為鉛210的衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量
?
模型求解
?
?均可測出
可算出白鉛中鉛的衰變率 ，再于當時的礦物比較，以鑒別真?zhèn)巍?
?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学建模之微分方程模型详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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