微分方程模型簡介

在研究生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方程。微分方程反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求解微分方程。

1.微分方程建模分類：

靜態(tài)優(yōu)化模型
存儲模型，價(jià)格模型，消費(fèi)者均衡模型

動(dòng)態(tài)模型
人口模型,傳染病模型

• 描述對象特征隨時(shí)間（空間）的演變過程
• 分析對象特征的變化規(guī)律
• 預(yù)報(bào)對象特征的未來性質(zhì)
• 研究控制對象特征的手段

穩(wěn)態(tài)模型
種群的競爭模型，軍備競賽模型

2.建立微分方程模型的方法

翻譯或轉(zhuǎn)化
在實(shí)際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、‘增長”(在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變”(在放射性問題中)，以及“邊際的”(在經(jīng)濟(jì)學(xué)中)等。

建立瞬時(shí)表達(dá)式
根據(jù)自變量有微小改變△t時(shí)，因變量的增量△W，建立起在時(shí)段△t上的增量表達(dá)式，令△t →0，即得到 dw/dt 的表達(dá)式。

配備物理單位
在建模中應(yīng)注意，一旦確定了哪些子項(xiàng)應(yīng)該列入微分方程中，就要確保每一項(xiàng)都采用同樣的物理單位，以保證式子的平衡。

確定約束條件
約束條件是關(guān)于研究對象在某一特定時(shí)刻或邊界上的信息（比如初始時(shí)刻），它們獨(dú)立于微分方程而存在，用以確定有關(guān)的常數(shù)（比如比例系數(shù)、解中的積分常數(shù)、方程參數(shù)）。為完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些約束條件和微分方程一起列出。

引例（體重問題）：

某人的食量是10467（焦／天)，其中5038(焦／天)用于基本的新陳代謝(即自動(dòng)消耗)。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69(焦／公斤*天）乘以他的體重 (公斤)．假設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868焦。
試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律．

1模型分析
問題中并未出現(xiàn)“變化率”、“導(dǎo)數(shù)”等關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為W）關(guān)于時(shí)間（記為t）的函數(shù)。如果把W看成是t的連續(xù)可微函數(shù)，則就找到了一個(gè)含有 dw/dt 的微分方程。

2模型假設(shè)
（1）以W(t)表示t時(shí)刻某人體重，并設(shè)一天開始時(shí)人的體重為W0 。
（2）體重的變化是一個(gè)漸變的過程。因此可以認(rèn)為W(t)是關(guān)于連續(xù)t而且充分光滑的。
(3）體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。

3模型建立
1、“每天”：體重的變化／天=凈吸收量／天一凈輸出量／天，其中：
凈吸收量／天＝10467-5038 ＝5429（焦／天）
凈輸出量／天＝69(焦／公斤·天)×W(公斤）
＝69W(焦／天)

體重的變化／天＝△w/△t(公斤／天)=△t->0 dw/dt （微元分析法）

4配備物理單位
有些量是用能量(焦)的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)給出，已知1公斤脂肪含熱量41868焦，考慮單位的匹配，有：

5建立瞬時(shí)表達(dá)式：

6確定約束條件：

模型求解
利用變量分離法求解可得：

用MATLAB求解引例的解析解

輸入命令：dsolve(‘DW=1296-16W/10000’, ‘W(0)=W0 ’,‘t’)
結(jié)果為：81+exp(-1/625t)(-81+W0)

求解微分方程模型的方法

• 求解析解（精確解）；
  dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)
  例題：

解 輸入命令：dsolve(‘Du=1+u^2’,‘t’)
結(jié)果為：u = tan(t+c1)

例題2：
求微分方程的通解。

解 輸入命令:
y=dsolve(‘D2y+4Dy+29y=0’,‘y(0)=0,Dy(0)=15’,‘x’)
結(jié)果為: 3exp(-2x)sin(5x)

• 求數(shù)值解（近似解）；

在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大多得不出一般解．而實(shí)際中的初值問題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。

對常微分方程:y’=f(x,y) y(x0)=y0 ,其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)x0開始的若干離散的x處的值，即對x0<x1<x2<…<xn，求出準(zhǔn)確值y(x1) ,y(x2)…y(xn)的相應(yīng)近似值y1,y2…yn。

• 定性理論方法。

實(shí)例2.人口模型

人口問題是當(dāng)今世界上最令人關(guān)注的問題之一，一些發(fā)展中國家的人口出生率過高，越來越威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達(dá)國家的自然增長率趨于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，造成勞動(dòng)力緊缺，也是不容忽視的問題。另外，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的推動(dòng)下，世界人口以空前的規(guī)模增長，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：
世界人口統(tǒng)計(jì)：

我國人口統(tǒng)計(jì)：

問題的提出：
人口在不斷的增長， 其增長有無規(guī)律可循？
目標(biāo)：預(yù)測人口發(fā)展趨勢；控制人口增長。

建立模型：

1、簡單模型

要預(yù)報(bào)未來若干年的人口數(shù)，兩個(gè)重要因素：
當(dāng)前的人口數(shù)x0、年增長率r（出生率-死亡率）
一年后，人數(shù)增加到：x1=x0+x0*r=x0(1+r)
k 年后，人口數(shù)為：xk=x0(1+r)^k

2、Malthus 模型(指數(shù)增長模型)

Malthus(1766–1834)是英國的人口學(xué)家。他根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出著名的人口指數(shù)增長模型。

模型假設(shè)：
人口凈相對增長率為常數(shù)r、凈相對增長率是單位時(shí)間內(nèi)的人口的增長量占當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)的比例、t時(shí)刻人口總數(shù)為N(t)、把N(t) 當(dāng)作連續(xù)的變量

Malthus 模型：

模型求解：

模型分析：

（1）數(shù)據(jù)表明，在1700—1961年期間，世界人口吻合較好。在此期間，人口約35年增長一倍。
（2）若r>0，人口以指數(shù)規(guī)律無限增長，t→∞時(shí)，N(t)→+∞.這似乎不太可能。

3、Logistic模型（阻滯增長模型）

**模型假設(shè)：**人口相對增長率隨人口的增加而線性減少。


**模型的建立：

**
這是一個(gè)非齊次常微分方程

容易求得其齊次常微分方程：

模型的求解

結(jié)論：在人 口總數(shù)達(dá)到極限值Nm的一半以前是加速生長期，過了這一點(diǎn)以后，生長率逐漸減小，并且趨于零。

4、Leslie模型（按年齡分布的離散人口增長模型）

-------差分方程模型

模型假設(shè)：
(1)時(shí)間離散化,設(shè)男女人口的性別比例為1:1。因此模型僅需考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為S歲，將其等間隔分成m個(gè)年齡段(年齡離散化),設(shè)S為m的整數(shù)倍,每隔S/m年觀察一次(時(shí)間離散化),不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化；
(2)記ni(t)為第i個(gè)年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù),記

第i年齡組女性生育率(生女率)為bi,女性死亡率為di,則女性存活率si=1-di,設(shè)bi ,di不隨時(shí)間變化；
(3)不考慮自然資源的制約，不考慮意外災(zāi)難對人口的影響；
(4)生育率和存活率僅與年齡段有關(guān)。

模型的建立

建立矩陣為：

總結(jié)

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