上期中介紹了兩種利用非線性函數擬合人口與物種增長趨勢的方法。這兩種方法都可以用于對人口與物種增長的總體趨勢進行預測，但預測不夠精細。我們知道在正常社會條件或自然條件下，生育率與死亡率是與群體的年齡構成息息相關的。我們需要對整個群體按年齡進行層次劃分，構建與年齡相聯系的人口模型。典型的例子就是Leslie矩陣模型。

Leslie矩陣介紹

我們把整個社會中的人群按年齡等距分成n組，每組中該年的人口總數為$a_i,i=1,2,...,n$，每組人口的每年的普遍存活率為$c_i,i=1,2,...,n?1$(設最后一組下一年全部死亡)，每組人口的每年普遍生育率為$b_i,i=1,2,...,n$，則下一年每組中的人口總數$a_i^{\prime },i=1,2,...,n$就滿足遞推關系式$\{\begin{array}{l}{a}_i^{\prime }=a_{i?1}{c}_{i?1},i=2,3,...,n\\ a_1^{\prime }={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i\end{array}$

該式可寫成矩陣乘向量的形式：
$$a^{\prime }=?\begin{array}{ccccc}{b}_1& b_2& ...& b_{n?1}& b_n\\ c_1& 0& ...& 0& 0\\ 0& c_2& ...& 0& 0\\ ?& ?& & ?& \\ 0& 0& ...& c_{n?1}& 0\end{array}?(a_1,a_2,...,a_n{)}^T$$

該式中左邊的矩陣就是Leslie矩陣。

Leslie矩陣性質

Leslie矩陣有唯一的單重正特征值${\lambda }_1$，對應的特征向量$x_1=(1,b_1/{\lambda }_1,c_1{c}_2/{\lambda }_1^2,...,c_1{c}_2...c_{n?1}/{\lambda }_1^{n?1}{)}^T$

證明：設n階的該矩陣為Ln，n階的特征多項式為Pn，則有
$$P_n=|\lambda I?L_n|=\left|\begin{array}{cccccc}\lambda ?b_1& ?b_2& ...& ?b_{n?1}& ?b_n& \\ ?c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& ?c_2& ...& 0& 0& \\ ?& ?& & ?& & \\ 0& 0& ...& ?c_{n?1}& \lambda & \end{array}\right|$$
$$=>P_n=\lambda \left|\begin{array}{cccccc}\lambda ?b_1& ?b_2& ...& ?b_{n?2}& ?b_{n?1}& \\ ?c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& ?c_2& ...& 0& 0& \\ ?& ?& & ?& & \\ 0& 0& ...& ?c_{n?2}& \lambda & \end{array}\right|+c_{n?1}\left|\begin{array}{cccccc}\lambda ?b_1& ?b_2& ...& ?b_{n?3}& ?b_{n?1}& \\ ?c_1& \lambda & ...& 0& 0& \\ 0& ?c_2& ...& 0& 0& \\ ?& ?& & ?& & \\ 0& 0& ...& ?c_{n?2}& 0& \end{array}\right|$$
$$=>P_n=\lambda P_{n?1}+c_{n?1}(?b_{n?1})(c_1{c}_2...c_{n?2})(?1{)}^{n?2}(?1{)}^{n?2}=>P_n=\lambda P_{n?1}?b_{n?1}{c}_1{c}_2...c_{n?1}$$
$$=>P_n=\lambda P_{n?1}?{\beta }_{n?1}=>P_n={\lambda }^n?{\beta }_1{\lambda }^{n?1}?{\beta }_2{\lambda }^{n?2}?...?{\beta }_n=>$$
$$0={\lambda }^n?{\beta }_1{\lambda }^{n?1}?{\beta }_2{\lambda }^{n?2}?...?{\beta }_n=>P_n={\lambda }^n?{\beta }_1{\lambda }^{n?1}?{\beta }_2{\lambda }^{n?2}?...?{\beta }_n=>$$
$$1={\beta }_1{\lambda }^{?1}+{\beta }_2{\lambda }^{?2}+...+{\beta }_n{\lambda }^{?n}$$右邊的函數是單調連續(xù)減函數，且$\lambda$無窮大時趨近0、$\lambda$趨近于0時趨近正無窮，所以有唯一正特征根${\lambda }_1$，對應的特征向量為$x_1=(1,b_1/{\lambda }_1,c_1{c}_2/{\lambda }_1^2,...,c_1{c}_2...c_{n?1}/{\lambda }_1^{n?1}{)}^T$

所有負的特征值都滿足$|\lambda |<{\lambda }_1$，稱${\lambda }_1$為嚴格優(yōu)勢特征值

證明:設有特征值滿足$|\lambda |\ge {\lambda }_1=>\lambda \ge ?{\lambda }_1$，則有其依然滿足$1={\beta }_1{\lambda }^{?1}+{\beta }_2{\lambda }^{?2}+...+{\beta }_n{\lambda }^{?n}$ ，而 $1={\beta }_1{\lambda }_1^{?1}+{\beta }_2{\lambda }_1^{?2}+...+{\beta }_n{\lambda }_1^{?n}\ge \beta |{\lambda }^{?1}|+\beta |{\lambda }^{?2}|+...+\beta |{\lambda }^{?n}|>\beta {\lambda }^{?1}+\beta {\lambda }^{?2}+...+\beta {\lambda }^{?n}$，矛盾

對于任意人口分布向量$x$，其迭代k次后的結果有$\underset{k?>+\infty }{\lim }\frac{x^{(k)}}{{\lambda }_1^k}=c{x}_1$(c為常數)，即迭代了無窮多次時，人口的分布比例趨近于特征向量$x_1$，而人口增長率趨近于特征值${\lambda }_1$

證明：僅對可化為對角陣的情況進行證明（一般情況需要用到約旦標準型）。$\underset{k?>+\infty }{\lim }\frac{x^{(k)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k?>+\infty }{\lim }\frac{L^k{x}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k?>+\infty }{\lim }\frac{(Pdiag({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)P^{?1}{)}^k{x}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k?>+\infty }{\lim }\frac{Pdiag({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,...,{\lambda }_n^k)P^{?1}{x}^{(0)}}{{\lambda }_1^k}=\underset{k?>+\infty }{\lim }Pdiag(1,{\lambda }_2^k/{\lambda }_1^k,...,{\lambda }_n^k/{\lambda }_1^k)P^{?1}{x}^{(0)}$，由于${\lambda }_1$為嚴格優(yōu)勢特征值，有$原式=\underset{k?>+\infty }{\lim }Pdiag(1,0,...,0)P^{?1}{x}^{(0)}=(x_1,x_2,...,x_n)diag(1,0,...,0)(x_1^{\prime },x_2^{\prime },...,x_n^{\prime })(a_1,a_2,...,a_n{)}^T=c{x}_1$

總結

列出Leslie矩陣，我們即可對人口年齡分布進行迭代。且無論一開始的人口分布向量如何，人口比例在迭代無數次之后總趨近于特征向量$x_1$。而人口增長率趨近于特征值${\lambda }_1$，說明特征值${\lambda }_1$可以用于預測人口增長速度，對于計生有重要意義。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数模(6)：Leslie矩阵人口模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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