對近世代數或抽象代數最開始的認識，是以前聽過的群論。記得解群論的題目都會畫一些圖，一直覺得群論是一種將代數圖形化的很高端的東西。不過如今正式開始學的時候，才發現…第一章似乎有點無聊。不過經過短暫的總結，嗯…也是有點意思。
上課的時候，老師說“高等微積分”、“高等代數”、“高等幾何”為主體的，為50年代數學教學的老三高，而現在的“新三高”，即抽象代數、拓撲學和泛函分析。
代數數學中的一門分支，大體可分為初等代數和抽象代數。
初等代數學是指19世紀上半葉以前發展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質等問題。
法國數學家伽羅瓦，一般稱他為近世代數的創始人。他使代數學由作為解方程的科學轉變為研究代數運算結構的科學，即把代數學由初等代數時期推向抽象代數即近世代數時期。
近世代數，由群論，發展到域論，再到環論，研究對象從研究代數方程根的計算與分布進而研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構。發生了質的變化。由于抽象代數的一般性，它的方法和結果帶有基本的性質，因而滲入到各個不同的數學分支。感謝那些陪代數一起過來的科學家們…
似乎所有的代數都是從集合論開始的。那么第一章，我們就來談一談集合論。
1、元素屬于（不屬于）集合與集合包含（不包含）另一集合的區別。
2、子集、真子集；集合的運算（交、并、差、補、布爾和、卡氏積）。
（1）集合的布爾和（對稱差）：
A⊕B={x |x∈A或x∈B但x?A∩B}=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
（2）集合的卡氏積：
AXB={ (a,b) |a∈A且b∈B}
AXB中的元素可看成由A和B坐標軸所張成的平面上的點。
（3）卡氏積的推廣：
令A_1 A_2 ,…,A_m是m個集合，那么由它們做成的卡氏積為
∏_(i=1)^m=A_i =AXA_2 X…XA_m=
{(a1,a2,…,am )| ai∈Ai,i=1,2,…,m}
（4）對于集合運算的公式，之前沒看過的是吸收律：
A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
3、映射的定義，象、逆象、單射、滿射、雙射。
（1）雙射（一一對應）
若f既是單射又是滿射，則f是雙射。

4、代數運算（包括AXB到D 和AXA到A）
（1）設給定A1XA2X…XAm到D的映射 f： A1XA2X…XAm→D，
如果n=2時，f就叫做代數運算。一般地有
定義7：任一個AXB到D的映射都叫做AXB到D的一個代數運算。
（2）代數運算表：當A，B都是有限集時，那么AXB到D的每一個代數運算都可以用運算表表示。
（3）若 的代數運算，則可稱 是 的代數運算或稱 對 是封閉的。
（4）賦予一個集合代數運算后，猶如使一潭死水泛起了波瀾，好比對這集合賦予了生命。
5、結合律，交換律和分配律
（1）如果A的代數運算 。滿足結合律，那么對于A的任意n(n>=2)個元素a1,a2,…,an來說，所有加括號的步驟運算的結果總是唯一的，因此，這一唯一的結果就可用a1。a2?！?。an來表示。
（2）設 的代數運算 同時滿足結合律和交換律，那么a1。a2?！?。an中的元的次序可以任意掉換。
（3）分配律分為了第一分配律（左分配律）和第二分配律（右分配律）
6、使用數學歸納法對交換律、結合律等的定理進行證明
（1）[論證思路]
因n是有限數，所以加括號的步驟必是有限的。
任取一種加括號的步驟π(a1。a2?！?。an)，往證：
π(a1。a2。…。an)=a1。(a2?！n)
對 用數學歸納法。
① π(a1。a2?！n)=b1。b2
② b1和b2分別是i和n-i個元素經加括號而運算的結果.
③ i<=n-1, n-i<=n-1，由歸納假設釋之.
（2）[論證思路]
采用數學歸納法，歸納假設n-1時命題成立.
對n的情形，任掉換ai的位置，使之成為ai1。ai2?！in .
注意i1,i2…,in是1,2,…,n的一個排列. 令 ik=n.
用結合律和歸納法假設證明之.
（3）對于數學歸納法的思想，在這里關于運算律定理的證明體現了很多，可以感受一下…
7、在判斷代數運算是否滿足這些性質時，怎樣使用運算表？
8、了解雙射（一一映射）的特性 ，引導出逆映射。
（1）對于有限集來說，兩個集合之間存在雙射（1-1對應）的充要條件是它們所含元素個數相同。
對于有限集M及其真子集M’之間不可能存在雙射；但對于無限集未必如此。
即一個無限集與其的某個真子集一樣“大”。可作為無限集都有的特性。
（2）設 φ是A 到A-到 的一個雙射，那么由φ可誘導出（可確定出） A 到A-的一個雙射φ^(-1)（通常稱φ^(-1)是φ的逆映射）
9、兩個代數系統的同態的概念，尤其是同態的滿射所具有的性質。
（1）變換：設φ:A→A是映射，那么習慣上稱為是A的變換。
當φ是雙射（單射，滿射）時，也稱φ為一一變換（單射變換，滿射變換）
（2）同態映射：設集合A,A-都各有代數運算 °,°-（稱{A，°}及 為{A-，°-}代數系統）而φ:A→A-是映射，且滿足下面等式：
?a,b∈A,φ(a°b)=φ(a) °- φ(b)
（習慣上稱φ可保持運算）
那么稱φ是A 到A-的同態映射。
（3）同態：若φ是{A，°}到{A-，°-}的同態滿射，那么習慣上稱A與A- 同態，并記為A～A-；習慣上稱A-是A的同態象.
（4）如果φ是{A，°}到{A-，°-}的同態滿射，那么
●若°滿足結合律 ，°-也適合結合律；
●若°滿足交換律 ，°-也適合交換律.
10、掌握同構映射的實質
（1）同構：設φ是{A，°}到{A-，°-}的同態映射，若φ是個雙射，那么稱φ是同構映射，或稱A與A-同構，記為A?A- 。
（2）設φ是{A，°，+}到{A-，°-，+-}的同構映射，那么
●“°”適合結合律 “°-”也適合結合律；
●“°”適合交換律 “°-”也適合交換律；
●“°”和“+”滿足左（右）分配律 “°-”和“+-”滿足 左（右）分配律。
（3）凡同構的代數體系都認為是（代數）相同的。
（4）在上述的觀點下，一個代數體系經同構映射而保持不變的性質叫做它的代數性質。于是，由代數運算所表述的任意一個性質都是代數性質。我們將代數體系的代數性質的總合統稱為它的代數結構。因此，同構的代數體系有完全相同的代數結構。研究代數體系的首要目的就是確定所有互不同構的代數體系以及它們的代數結構。而為了確定一個代數體系的代數結構，只須讓它與一個代數結構已經清楚的代數體系同構則可。
（5）映射是兩個集合之間建立聯系的一種方法，利用這種聯系來對兩個集合進行比較，通過這種比較就能由一個集合的性質去推測另一個集合可能有的性質。除了這種認識事物的方法之外，有時也要把一個集合分成若干個子集，對各個子集進行分門別類地研究或者對某些特殊的子集加以討論，這種討論有益于對原來的集合的研究。這種以局部到整體地認識事物的方法，在高等代數中已屢見不鮮，而在近世代數中更是不可缺少的，甚至是無處不有的。以下引出集合進行分類的一般原則——等價關系。
11、“集合分類”的定義（尤其是分類的三大特點）。
（1）設A為任一個集合，而Ω是A的一些子集組成的集合， 其中Ω={Ai?A | i∈I}是指標集，如果
● Ai≠? i∈I
● Ai∩Aj = ? i,j∈I 且 ? i≠j
● A=?(i∈I) Ai
則稱Ω是A的一個分類而Ω中每個元素Ai都叫做A在Ω下的一個類。
（2）注意：可以看出，對每一個確定的分類Ω來說，凡是分在同一類里的元素都具有某種共同的性質，而分在不同類的元素所具有的這種性質也必不同。
12、集合上的關系及等價關系
（1）關系：設A為集合，D={對，錯}，那么AXA到D的每個映射R就叫做A的一個關系.（也稱為二元關系）
若R:(a,b)→對，就稱a與b符合關系R，記為 aRb
若R:(a,b)→錯，就稱a與b不符合關系R，記為 aR-b
（2）等價關系：設～是集合A上的二元關系，如果～具有以下三種性質：
●反射律（反身性）： ?a∈R , a～a
●對稱律（對稱性）： ?a,b∈R , 當 a～b 時必有 b～a ；
●推移律（傳遞性）： ?a,b,c∈R , 當 a～b 且 b～c 時，
必有 a～c 。那么關系～叫做A上的等價關系。并且當a～b時，習慣稱a與b等價。
13、上述兩個概念的相互轉化問題。
（1）集合A的每個分類都決定了A的一個等價關系。
（2）集合A的任一個等價關系～都可確定A的一個分類。
（3）若先有A的一個等價關系～1，由～1確定的分類若為Ω1時，那么用定理1由確定的等價關系～2有～1=～2。
（4）若先有A的一個分類Ω2，由Ω2確定的等價關系是～2，那么用定理2，由～2確定的A的分類若為Ω3時，則 Ω2=Ω3 。
14、一個重要的實例——模 的剩余類集合。
如設整數集 Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}，并令
A0={n∈Z | n=4q, q∈Z}
A1={n∈Z | n=4q+1, q∈Z}
A2={n∈Z | n=4q+2, q∈Z}
A3={n∈Z | n=4q+3, q∈Z}
這就是近世代數第一章的內容，和高代的集合論那一塊有很多的相似之處。集合論學起來時枯燥，不過當你再總結一遍的時候還是會覺得有點意思的，哈哈。
被markdown的數學公式編輯器弄暈…
咦…結束了

來一發相關的英文單詞
近世代數 modern algebra ; 高等代數 advanced algebra
拓撲學topology ；泛函分析 functional analysis
群論 group theory ; 域論 field theory ; 環論 ring theory
方程 equation
集合論 set theory ; 真子集 proper subset ; 子集 subset
布爾 Boole ; 布爾和 Boolean sum
卡氏積 cartesian product
映射 map ; 逆映射 inverse mapping
雙射 bijection ; 滿射 surjection
一一對應 one-to-one correspondence
代數運算 algebraic operation
交換律 commutative law ; 結合律 associative law
分配律 distributive law
數學歸納法 mathematical induction
同態 homomorphism ; 同態映射 homomorphic mapping
同構 isomorphism ; 同構映射 isomorphic mapping
等價關系 relationship of aquivalence
分類 classification
反身性 reflexivity ; 對稱性 summetry ; 傳遞性 transitivity
剩余類 residue class

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数第一章总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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