克萊姆法則（由線性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式）是線性代數(shù)中一個(gè)關(guān)于求解線性方程組的定理，它適用于變量和方程數(shù)目相等的線性方程組。

概念

含有n個(gè)未知數(shù)的線性方程組稱為n元線性方程組。
1）當(dāng)其右端的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn不全為零時(shí)，稱為非齊次線性方程組：

其中，A是線性方程組的系數(shù)矩陣，X是由未知數(shù)組成的列向量，β是由常數(shù)項(xiàng)組成的列向量。
非齊次線性方程組的矩陣形式：

2）當(dāng)常數(shù)項(xiàng)全為零時(shí)，稱為齊次線性方程組，即：

其矩陣形式：

3）系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式D，即

定理

記法1：若線性方程組的系數(shù)矩陣A可逆（非奇異），即系數(shù)行列式 D≠0。有唯一解，其解為

記法2：若線性方程組的系數(shù)矩陣A可逆（非奇異），即系數(shù)行列式 D≠0，則線性方程組有唯一解，其解為

其中Dj是把D中第j列元素對應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)而其余各列保持不變所得到的行列式，即

記法1是將解寫成矩陣（列向量）形式，而記法2是將解分別寫成數(shù)字，本質(zhì)相同。

推論

1）n元齊次線性方程組有唯一零解的充要條件是系數(shù)行列式不等于零，系數(shù)矩陣可逆（矩陣可逆=矩陣非奇異=矩陣對應(yīng)的行列式不為0=滿秩=行列向量線性無關(guān)）；
2）n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零。

法則總結(jié)

1.克萊姆法則的重要理論價(jià)值：
1）研究了方程組的系數(shù)與方程組解的存在性與唯一性關(guān)系；
2）與其在計(jì)算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價(jià)值。（一般沒有計(jì)算價(jià)值，計(jì)算量較大，復(fù)雜度太高）
2.應(yīng)用克萊姆法則判斷具有N個(gè)方程、N個(gè)未知數(shù)的線性方程組的解：
1）當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不等于零時(shí)，則方程組有解，且具有唯一的解；
2）如果方程組無解或者有兩個(gè)不同的解，那么方程組的系數(shù)行列式必定等于零；
3）克萊姆法則不僅僅適用于實(shí)數(shù)域，它在任何域上面都可以成立。
3.克萊姆法則的局限性：
1）當(dāng)方程組的方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不一致時(shí)，或者當(dāng)方程組系數(shù)的行列式等于零時(shí)，克萊姆法則失效；
2）運(yùn)算量較大，求解一個(gè)N階線性方程組要計(jì)算N+1個(gè)N階行列式。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的克莱姆法则（Cramer's Rule）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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