文章目錄

• 1. 復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)
• 2. 柯西-黎曼方程

1. 復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)數(shù)也可以有導(dǎo)數(shù)，為了更好理解復(fù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們可以借鑒實(shí)數(shù)的相關(guān)定義，引申出復(fù)數(shù)域的導(dǎo)數(shù)：

定義1：設(shè)函數(shù) $f(z)$ 在 $z_o$ 的鄰域內(nèi)有定義， $\lim \frac{f(z_o+\Delta z)?f(z_o)}{\Delta z}=C$ 存在，則稱(chēng) $C$ 是 $f(z)$ 在 $z_o$ 的導(dǎo)數(shù)，記作 $f^{\prime }(z_o)$。

那么它必然就要有可微、連續(xù)等一般性質(zhì)。所以在這個(gè)前提下，原本用于實(shí)數(shù)域的導(dǎo)數(shù)規(guī)則，就可以直接用在復(fù)數(shù)域里。那么關(guān)于導(dǎo)數(shù)的公式定義，不熟悉的朋友可以參考我之前寫(xiě)的這一章節(jié) 《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié) —— 1. 常用導(dǎo)數(shù)公式》。

例題：
已知 $f(0)=1$，$f^{\prime }(0)=1+j$ 求 ${\lim }_{z\to 0}\frac{f(z)?1}{z}$
解：
首先把極限公式按照標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行改變，于是有
$$\lim \frac{f(z)?1}{z}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{f(0+z)?f(0)}{z}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta z)?f(0)}{\Delta z}$$
而以上結(jié)果其實(shí)就變成了對(duì)于函數(shù) $f(z)$ 在 $z=0$ 處的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果為 $f^{\prime }(0)=1+j$。

2. 柯西-黎曼方程

如果我們的復(fù)函數(shù) $f(z)$ 僅僅是 $f(z)=x+jy$ 這種簡(jiǎn)單形式，那么就完全不需要引入復(fù)變函數(shù)的概念。但如果復(fù)函數(shù)的實(shí)數(shù)與虛數(shù)部分，都可以分別表示為兩個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)的形式時(shí)，例如

$$f(z)=x{y}^3+j(x+y)$$

那么對(duì)這樣的問(wèn)題分析和求解就會(huì)變得格外麻煩和棘手。所以此時(shí)，我們會(huì)分別令 $u(x,y)=x{y}^3$ 和 $v(x,y)=x+u$，上式于是就變成了這樣的的形式

$$f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$$

那問(wèn)題就可以從復(fù)雜的復(fù)函數(shù)問(wèn)題，變成簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的線性相加，也就是把原本復(fù)雜的數(shù)據(jù)問(wèn)題降維處理了。因此，原本比如對(duì) $f^{\prime }(z)$ 的求導(dǎo)，就可以變成對(duì) $u$ 和 $v$ 的求導(dǎo)。

這里參考求導(dǎo)公式 $f^{\prime }(u,v)=[u+v{]}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

因此，如果 $u$ 和 $v$ 函數(shù)分別都有各自的導(dǎo)數(shù)，那么$f(z)$ 就可以有導(dǎo)數(shù)，且 $f^{\prime }(z)=u^{\prime }+v^{\prime }$。現(xiàn)在，當(dāng)我們有復(fù)函數(shù) $f(z)=z^2$，其中 $z=x+jy$。它一定對(duì)于所有的點(diǎn) $z$ 處處可導(dǎo)，那么當(dāng)它展開(kāi)后

$$f(z)=x^2?y^2+2jxy$$

其各自的復(fù)變函數(shù) $u$ 和 $v$ 的偏微分函數(shù)為

$$?\begin{array}{c}{u}_x=(x^2?y^2{)}^{\prime }=2x\\ v_x=(2xy{)}^{\prime }=2y\\ u_y=(x^2?y^2{)}^{\prime }=?2y\\ v_y=(2xy{)}^{\prime }=2x\end{array}$$

于是可以得到 $u_x=v_y$，$v_x=?u_y$，注意這里是系數(shù)關(guān)系。于是，我們間接的引入了「柯西-黎曼」方程：

在一對(duì)實(shí)值函數(shù) $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 上的柯西-黎曼方程組包括兩個(gè)方程：
$$\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y}$$
和
$$\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$$
通常，$u$ 和 $v$ 取為一個(gè)復(fù)函數(shù)的實(shí)部和虛部：$f(x+iy)=u(x,y)+jv(x,y)$。假設(shè) $u$ 和 $v$ 在開(kāi)集C上連續(xù)可微，則當(dāng)且僅當(dāng) $u$ 和 $v$ 的偏微分滿(mǎn)足柯西-黎曼方程組，$f=u+iv$是全純的。

關(guān)于「柯西-黎曼」方程一些小歷史

復(fù)分析中的柯西-黎曼微分方程（Cauchy–Riemann equations）是提供了可微函數(shù)在開(kāi)集中為全純函數(shù)的充要條件的兩個(gè)偏微分方程，以柯西和黎曼得名。這個(gè)方程組最初出現(xiàn)在達(dá)朗貝爾的著作中。后來(lái)歐拉將此方程組和解析函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。 然后柯西采用這些方程來(lái)構(gòu)建他的函數(shù)理論。黎曼關(guān)于此函數(shù)理論的論文于1851年問(wèn)世。

至此，我們得出了對(duì)于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一個(gè)極為重要的——「柯西-黎曼」方程：

$$f^{\prime }(z)=\frac{?u}{?x}+j\frac{?v}{?x}=\frac{?v}{?y}?j\frac{?u}{?y}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数 —— 2. 复函数的导数与复变函数的导数（柯西黎曼方程）的定义的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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