空間的基和坐標(biāo)系：

繼續(xù)接著上一次線性代數(shù)學(xué)習(xí)之正交性，標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣和投影往下學(xué)習(xí)，前面已經(jīng)詳細(xì)的學(xué)習(xí)了什么是空間、什么是向量空間、什么是子空間，在此基礎(chǔ)上又知道了對(duì)于一個(gè)空間來(lái)說(shuō)基是很重要的屬性，并且對(duì)于一個(gè)空間來(lái)說(shuō)其實(shí)是有無(wú)數(shù)組基的，而我們比較感興趣的通常是正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)然這不是所有的情況，在不同的領(lǐng)域中會(huì)對(duì)不同的基感興趣，既然一個(gè)空間存在這么多種不同的基，就會(huì)涉及到空間中的一組基跟另外一組基是怎樣變換的，這也是此次所要研究的話題，具體就是要了解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和線性變換兩個(gè)概念，而這里先來(lái)從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換相關(guān)的概念開(kāi)始了解。

在之前線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，在理解空間的基的一個(gè)視角就是坐標(biāo)系，其實(shí)坐標(biāo)系跟空間的基是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的，當(dāng)有了一組空間的基時(shí)就可以說(shuō)有了空間的一個(gè)坐標(biāo)系，反過(guò)來(lái)也成立，舉個(gè)之前舉過(guò)的二維空間的例子：

其中在這個(gè)坐標(biāo)系上取一點(diǎn)（12，8），之所以這個(gè)點(diǎn)是（12，8）是建立在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)上的，標(biāo)準(zhǔn)就包括水平向上和垂直向上的坐標(biāo)軸以及定義了什么是一個(gè)單位，如下：

而紅色的兩個(gè)單位箭頭其實(shí)就是定義了二維平面的一組基，當(dāng)然二維平面可以有無(wú)數(shù)組基，比如這樣：

如果定義好了這么一個(gè)基的話，可以以這兩個(gè)基的向量所對(duì)應(yīng)的方向當(dāng)作二維平面兩個(gè)軸的方向，而兩個(gè)向量的模當(dāng)作是兩個(gè)方向上的一個(gè)單位是多少，這樣這組基又定義了這么一個(gè)坐標(biāo)系：

此時(shí)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就變成了（2，2）了：

可見(jiàn)同樣一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)了兩個(gè)表示法：

第一組基如果以列排列的話這個(gè)點(diǎn)表示的是：

而第二組基也是列排列的話這個(gè)點(diǎn)表示的是：

這就是空間的基和坐標(biāo)系之間的關(guān)系，它們是一一對(duì)應(yīng)的，而關(guān)于空間的基更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠羞@么一個(gè)結(jié)論，之前https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306046.html已經(jīng)證明過(guò)：

在n維空間，如果給定一組基，任何一個(gè)向量（或者是點(diǎn)）都可以表示成這組基的線性組合，且表示方法唯一！

下面再來(lái)對(duì)這兩種空間對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系的情況進(jìn)行一個(gè)總結(jié)：

所以對(duì)于n維空間的一個(gè)點(diǎn)或者向量，我們定義為x，那么給定任何一組基都可以表示成這組基的線性組合，且表示方法唯一，所以：

前面的式子是在e1、e2這組基下，后面的式子是在u、v的這組基下，而相應(yīng)的每一組基都對(duì)應(yīng)著一個(gè)坐標(biāo)系，如下：

發(fā)現(xiàn)規(guī)律木有，實(shí)際上我們說(shuō)的坐標(biāo)的值就是把這個(gè)向量x表示成這組基所對(duì)應(yīng)的線性組合，相應(yīng)的線性組合中每一個(gè)基向量前面的那個(gè)系數(shù)，所以就可以給下面的一個(gè)定義啦：

如果給定向量空間V中的一組基B，B定義為：

以及V中的一個(gè)向量x：則x一定可以被這組基線性表示。假設(shè)：

則稱(chēng)x在這組基B下的坐標(biāo)，為：

而由于不同的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)x點(diǎn)，所以為了區(qū)分起見(jiàn)，也可以記做：

也就是這一組坐標(biāo)（c1,c2,...,cn）在大B這組基下相應(yīng)的坐標(biāo)，有點(diǎn)暈，回到具體的例子來(lái)看：

其中這個(gè)符號(hào)怎么讀的呀：

關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)的讀法在網(wǎng)上搜了個(gè)表，可以參考一下：

大寫(xiě)	小寫(xiě)	英文注音	國(guó)際音標(biāo)注音	中文注音
Α	α	alpha	alfa	阿耳法
Β	β	beta	beta	貝塔
Γ	γ	gamma	gamma	伽馬
Δ	δ	deta	delta	德耳塔
Ε	ε	epsilon	epsilon	艾普西隆
Ζ	ζ	zeta	zeta	截塔
Η	η	eta	eta	艾塔
Θ	θ	theta	θita	西塔
Ι	ι	iota	iota	約塔
Κ	κ	kappa	kappa	卡帕
∧	λ	lambda	lambda	蘭姆達(dá)
Μ	μ	mu	miu	繆
Ν	ν	nu	niu	紐
Ξ	ξ	xi	ksi	可塞
Ο	ο	omicron	omikron	奧密可戎
∏	π	pi	pai	派
Ρ	ρ	rho	rou	柔
∑	σ	sigma	sigma	西格馬
Τ	τ	tau	tau	套
Υ	υ	upsilon	jupsilon	衣普西隆
Φ	φ	phi	fai	斐
Χ	χ	chi	khai	喜
Ψ	ψ	psi	psai	普西
Ω	ω	omega	omiga	歐米伽

其中咱們的這個(gè)就讀epsilon【艾普西隆】

?而通常我們說(shuō)到的坐標(biāo)系都是在這組基下：

所以稱(chēng)之為“標(biāo)準(zhǔn)基（Standard Basis）” 而標(biāo)準(zhǔn)基所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系就稱(chēng)為“標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系”。但是！！！這里說(shuō)的“標(biāo)準(zhǔn)基（Standard Basis）”很容易跟之前所學(xué)的“標(biāo)準(zhǔn)正交基（Orthonormal Basis）”搞混，這里一定要分清楚！！！！

所以對(duì)于n維標(biāo)準(zhǔn)基（n維標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系），就是：

其他坐標(biāo)系與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換：

上面已經(jīng)了解了空間的基與坐標(biāo)系之間的關(guān)系，空間中有幾數(shù)組基，而每一組基都對(duì)應(yīng)著一個(gè)坐標(biāo)系，與此同時(shí)也知道了標(biāo)準(zhǔn)基的概念，相應(yīng)的坐標(biāo)系就叫標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，那對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系與非標(biāo)準(zhǔn)的坐標(biāo)系之間是如何轉(zhuǎn)換的呢？下面來(lái)探討這個(gè)它：

還是回到之前的那個(gè)二維平面坐標(biāo)系的例子：

第一組基如果以列排列的話這個(gè)點(diǎn)表示的是：

而第二組基也是列排列的話這個(gè)點(diǎn)表示的是：

用符號(hào)來(lái)表示的話：

那這兩個(gè)坐標(biāo)之間有啥聯(lián)系呢？其實(shí)這個(gè)問(wèn)題在之前學(xué)習(xí)看待矩陣視角時(shí)有學(xué)過(guò)，這里再來(lái)整理一下：

也就是可以用矩陣的乘法來(lái)描述，可以用列視角來(lái)看就是：

而其中的(4，1)和(2，3)是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下來(lái)衡量的，所以可以總結(jié)一下【比較抽象】：

假設(shè)有一組基B：

設(shè)立矩陣，它里面的元素就是由n個(gè)向量逐列排開(kāi)：

這個(gè)矩陣看似像1xn的矩陣，其實(shí)是nxn的，有了這個(gè)矩陣之后，在這組基下的一個(gè)向量：

就有：

這個(gè)有點(diǎn)抽象，得結(jié)合上面舉到的具體例子來(lái)理解，如下：

其中：

稱(chēng)之為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，

?那為啥會(huì)有這么個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系呢，下面來(lái)證明一下：

其中B中的基的兩個(gè)向量可以表示為：

也就是這兩個(gè)向量都是基于標(biāo)準(zhǔn)基中來(lái)描述的，而：

然后將u、v代入式子：

而標(biāo)紅的式子恰恰就是矩陣的乘法展開(kāi)的樣子：

?所以就得證了。

?在上面我們已經(jīng)從B這樣的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到了標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系：

那怎么反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)換呢，也就是從標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到B這樣的坐標(biāo)系中，其實(shí)很簡(jiǎn)單：

等式兩邊同時(shí)乘以Pb的逆，如下：

那為啥Pb這個(gè)矩陣是一定可逆的呢？因?yàn)樗紫仁且粋€(gè)方陣，另外它里面列向量一定是線性無(wú)關(guān)的，也是生成空間的，就可以根據(jù)方陣的那N多命題中推出它一定是可逆的，這里具體就不看了，因此，對(duì)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換相互的式子總結(jié)就是：

這里千萬(wàn)不要搞混Pb和Pb的逆的使用，Pb所乘的坐標(biāo)一定是B這組基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，而如果不是B這組基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)而是標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，就應(yīng)該用Pb的逆矩陣來(lái)乘。

任意坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：

在上面已經(jīng)對(duì)于任意坐標(biāo)系與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了闡述，那如果兩個(gè)坐標(biāo)系都是任意坐標(biāo)系它們之間該如何轉(zhuǎn)換呢？

假設(shè)有一組基：

另一組基：

在B這組基下的一個(gè)向量：

求C這組基下的一向量：

?其實(shí)求解方法以標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系為橋梁既可，首先求出B這組基下的向量在標(biāo)準(zhǔn)基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，根據(jù)上面的公式既可：

然后只要用C這組基構(gòu)造成Pc矩陣，再用Pc的逆矩陣乘以在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基下所表示的坐標(biāo)既為在C這組基下所表示的值，如下：

而將標(biāo)準(zhǔn)基下的坐標(biāo)的值代入，可以合成一個(gè)式子為：

進(jìn)一步還可以把它表示成：

那如果反過(guò)來(lái)呢？也就是在C這組基下的一個(gè)向量：

求在B這組基下的一個(gè)向量：

?此時(shí)就可以用它進(jìn)行推導(dǎo)：

左右兩邊都乘以Pc，如下：

然后左右兩邊再乘以Pb的逆就有：

同樣的也可以表示為：

?而這兩矩陣其實(shí)是互為逆矩陣的：

證明方法也很簡(jiǎn)單，如下：

這里再回到之前所學(xué)任意坐標(biāo)系與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換：

其中標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系也是一個(gè)坐標(biāo)系，得到的結(jié)論應(yīng)該跟咱們目前所學(xué)的兩個(gè)任意坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換結(jié)果是一樣的才行，下面來(lái)以這次所學(xué)的視角理解一下，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系其實(shí)可以這樣表示：

其中Pc就是單位矩陣：

此時(shí)看一下B到C之間的轉(zhuǎn)換，以任意兩個(gè)坐標(biāo)系的視角來(lái)看待就有：

同樣的反過(guò)來(lái)：

跟之前所述的任意坐標(biāo)系與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換是剛好吻合的，其實(shí)它是兩個(gè)任意坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換的一個(gè)特例。

其實(shí)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系還可以看成這樣：

這樣再來(lái)看兩個(gè)任意坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換：

而如果我們知道了B這組基向量在C坐標(biāo)系下的表示：

此時(shí)就可以直接拿到坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換的結(jié)果：

所以就有：

說(shuō)實(shí)話這個(gè)說(shuō)得有點(diǎn)抽象，下面以具體的例子再來(lái)理解一下這個(gè)結(jié)論：

首先求這個(gè)矩陣：

也就是向量按列排列成矩陣：

此時(shí)要求x在C坐標(biāo)系下的坐標(biāo)就可以用這個(gè)公式：

如下：

也就是如果知道了一組基到另一個(gè)坐標(biāo)系下的表示的話，就可以不以單位矩陣做為橋梁來(lái)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的計(jì)算了，其證明為：

而b1向量和b2向量為：

將其代入進(jìn)來(lái)就有：

而它其實(shí)就是：

反之，如果已知C坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，求B坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，如下：

最后總結(jié)一下：

對(duì)于這些還是比較容易暈的，需要好好挼挼。

線性變換：

在上面一直探討的是關(guān)于坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，其實(shí)在線性代數(shù)領(lǐng)域關(guān)于變換這個(gè)話題會(huì)關(guān)注一個(gè)更加宏觀更加龐大的定義，稱(chēng)為線性變換，而對(duì)于之前學(xué)習(xí)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換其實(shí)是線性變換其中的一種。

什么是變換？

先來(lái)了解什么是變換，通常在數(shù)學(xué)的世界中一說(shuō)變換就意味著是一個(gè)函數(shù)， 而在線性代數(shù)領(lǐng)域只對(duì)線性變換感興趣，對(duì)于非線性變換是不感興趣的【就像之前學(xué)習(xí)空間一樣，在線性代數(shù)中只對(duì)向量空間感覺(jué)興趣，對(duì)非向量空間不感興趣】，先來(lái)看一下變換的定義：

一個(gè)變換T(x)稱(chēng)為線性變化，必須滿(mǎn)足以下兩個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)一：

兩個(gè)向量之和的變換就等于兩個(gè)向量分別做變換。

性質(zhì)二：

其中c屬于實(shí)數(shù)集，它說(shuō)明給向量u進(jìn)行常數(shù)c相乘之后再做變換就等于先對(duì)向量進(jìn)行一個(gè)變換然后再乘以常數(shù)c。

以上性質(zhì)再一次說(shuō)明了當(dāng)時(shí)在學(xué)習(xí)向量時(shí)的兩個(gè)基本運(yùn)算：向量的加法和數(shù)量乘法，這兩個(gè)運(yùn)算是貫穿整個(gè)線性代數(shù)從始至終的，

?線性變換：

上面對(duì)于變換有了基本了解之后，那啥是線性變換呢，回憶一下之前學(xué)習(xí)矩陣時(shí)我們可以所矩陣看做是向量的函數(shù)：

所以矩陣所表示的變換，均為線性變換。那為啥它是屬于線性變換呢？當(dāng)然得要從它需要滿(mǎn)足的兩條性質(zhì)來(lái)證明嘍：

下面來(lái)證明第一條性質(zhì)：

木問(wèn)題，接下來(lái)再來(lái)看第二條性質(zhì)，也比較簡(jiǎn)單：

是不是就證明矩陣表示的變換均為線性變換了？有了這樣的一個(gè)視角，回到矩陣上來(lái)，它既可以看成空間，也可以看做是變換，這兩個(gè)視角其實(shí)是一致的，還是用之前舉的例子：

它可以看作是空間，比如：

它是一組基構(gòu)成的空間，但是！！根據(jù)上面學(xué)習(xí)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的知識(shí)，它又可以看成是從B這個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成ξ標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣【其中看到變換一詞木有，也就是矩陣也可以看成變換】！所以這兩個(gè)視角是等價(jià)的，也就是空間既變換，變換既空間。不同的空間對(duì)應(yīng)著不同的基，對(duì)應(yīng)著不同的坐標(biāo)系，所以對(duì)于這個(gè)矩陣的乘法就可以看作是不同的基的變換或是不同的坐標(biāo)系之間的變換，反過(guò)來(lái)一個(gè)變換也就對(duì)應(yīng)著不同的基和不同的坐標(biāo)系，下面來(lái)看一下這個(gè)反過(guò)來(lái)的情況，其實(shí)也是之前學(xué)習(xí)矩陣變換時(shí)接觸過(guò)的，比如讓每個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸翻轉(zhuǎn)：

那從空間的基的角度來(lái)想這個(gè)問(wèn)題：

這個(gè)變換矩陣其實(shí)就是表示（1，0），（0，-1）這樣一組基，這個(gè)變換就會(huì)將這組基下的（x,y）看它在標(biāo)準(zhǔn)基下就是（x，-y）,這樣就完成了x軸的翻轉(zhuǎn)。所以可以看出對(duì)于這個(gè)變換矩陣T本質(zhì)就是對(duì)應(yīng)另外一組基另外一個(gè)坐標(biāo)系，同理再看一個(gè)關(guān)于y軸翻轉(zhuǎn)的例子：

它對(duì)應(yīng)的變換矩陣為：

這樣對(duì)于T中的（-1，0）、（0，1）這樣坐標(biāo)系的x，y就成為了所看到的（-x，y）。這樣的視角可以再來(lái)看一下變換：讓每個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)翻轉(zhuǎn)（x軸，y軸均翻轉(zhuǎn)）

它對(duì)應(yīng)的變換矩陣為：

基中T就是另外一組基，我們做這個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換就達(dá)到圖中的變換效果。再回憶一下沿x方向錯(cuò)切效果：

其中變換矩陣中是另外一組基，在這樣的一個(gè)坐標(biāo)系下（x，y）在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下就是（x+ay，y）。

再看沿y方向錯(cuò)切：

其實(shí)就是看（x,y）這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在（1，b）、（0，1）這樣的坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的位置為（x，bx + y）。

最后再看一下旋轉(zhuǎn)的效果：

它對(duì)應(yīng)的變換矩陣為：

也同樣可以將T看成一組坐標(biāo)系，然后看（x，y）在這組坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的位置。

而之前學(xué)習(xí)矩陣表示空間和矩陣表示變換聯(lián)系起來(lái)舉了這么個(gè)例子：

也就是要想讓正F向左倒的效果，它對(duì)應(yīng)的變換矩陣就可以從空間的基或坐標(biāo)系的視角來(lái)想這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)深色的F的x軸就是原來(lái)坐標(biāo)系的y軸，而它的y軸就是原來(lái)坐標(biāo)系的x反向方，所以把這兩個(gè)坐標(biāo)軸按列排列起來(lái)就形成了一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣就為：

最后關(guān)于線性變換總結(jié)一下：

所有的矩陣都可以用來(lái)表示一個(gè)線性變換；

用矩陣表示空間的視角和用矩陣表示變換的視角是等價(jià)的；

更多和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和線性變換相關(guān)的話題：

對(duì)于這次的學(xué)習(xí)首先是介紹了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在此基礎(chǔ)之上又了解了線性變換，而不管是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換還是線性變換都可以看成是理解矩陣的一個(gè)視角，這也就是之前所說(shuō)的可以把矩陣看作是一個(gè)空間，也可以看成是一種變換。而這次所舉的所有的例子其實(shí)都是在同等維度的空間中進(jìn)行轉(zhuǎn)換的：

都是在二維平面中從一點(diǎn)轉(zhuǎn)換到另一點(diǎn)，其實(shí)這樣的變換有很多實(shí)際的應(yīng)用，下面來(lái)舉例說(shuō)明一下：

1、最典型的是二維動(dòng)畫(huà)、三維動(dòng)畫(huà)，比如：

這種都是同維度空間的轉(zhuǎn)換例子.

2、不同維度之間的轉(zhuǎn)換：

實(shí)際當(dāng)然也有不同維度空間的轉(zhuǎn)換，比如看3D動(dòng)畫(huà)的靜態(tài)圖像，就需要用到3D空間轉(zhuǎn)到了2D空間的過(guò)程，比如：

由于屏幕是一個(gè)二維空間，所以對(duì)于三維空間的物品要展現(xiàn)在屏幕中就需要從3維轉(zhuǎn)換到2維，這是從高維空間向低維空間的轉(zhuǎn)換的例子，反過(guò)來(lái)也有從低維向高維空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的應(yīng)用，最典型的就是計(jì)算機(jī)視覺(jué)，其實(shí)就是通過(guò)機(jī)器可以看到我們的世界從而提取出一些信息，而機(jī)器是通過(guò)攝像頭來(lái)看到的信息，而攝像頭拍下來(lái)的圖片是一個(gè)二維的，但是二維的照片中蘊(yùn)含著三維的信息，所以計(jì)算機(jī)世界就需要通過(guò)這個(gè)二維的照片恢復(fù)在三維世界中的信息，從而理解一些問(wèn)題，比如看下圖：

照片是二維的，但是哪個(gè)更高，更個(gè)離白球更近就涉及到三維的信息，此時(shí)就需要從二維轉(zhuǎn)換成三維坐標(biāo)系了。

3、同維度空間轉(zhuǎn)換的應(yīng)用：

最典型的就是壓縮，這里以二維坐標(biāo)為例，比如：

有五個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都需要2個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)表示，但是！！！如果坐標(biāo)軸長(zhǎng)這樣呢？

此時(shí)這兩個(gè)紅色的基來(lái)說(shuō)，這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的y軸的值都非常小，而所有信息都集中的紅色的x軸上了，是不是就可以做壓縮處理了，假如計(jì)算出了這么一組基，只需要記x軸的信息，y軸的可以扔掉，這樣對(duì)于這些點(diǎn)的數(shù)據(jù)表示瞬間就可以壓縮一倍，這其實(shí)就是坐標(biāo)系之間的一個(gè)轉(zhuǎn)換的應(yīng)用，很多壓縮算法的本質(zhì)，就是找一組基！！！像JEPG就是典型的這種壓縮算法的應(yīng)用，像傅里葉變換、小波變換其實(shí)就是找一組基。

總而言之，上面舉的這些例子就了解下既可，重點(diǎn)是知道在線性代數(shù)中的空間變換有很多實(shí)際的使用場(chǎng)景，所以好好學(xué)習(xí)它們的基礎(chǔ)是有利無(wú)害的。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习之坐标转换和线性变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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