三次样条插值 cubic spline interpolation
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什么是三次樣條插值
插值（interpolation）是在已知部分?jǐn)?shù)據(jù)節(jié)點（knots）的情況下，求解經(jīng)過這些已知點的曲線，
然后根據(jù)得到的曲線進(jìn)行未知位置點函數(shù)值預(yù)測的方法（未知點在上述已知點自變量范圍內(nèi)）。
樣條(spline)是軟尺(elastic ruler)的術(shù)語說法，在技術(shù)制圖中，使用軟尺連接兩個相鄰數(shù)據(jù)點，
以達(dá)到連接曲線光滑的效果。
樣條插值是一種分段多項式(piecewise polynomial)插值法。數(shù)學(xué)上，曲線光滑需要在曲線上處處一階導(dǎo)連續(xù)，
因此，在節(jié)點處需要滿足一階導(dǎo)數(shù)相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導(dǎo)連續(xù)【1】，
在節(jié)點處需要二階導(dǎo)相等。
三次及以上多項式可以滿足節(jié)點處光滑和曲率最小要求，但是次數(shù)高的曲線容易震蕩，因此，就選用三次多項式即可。
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數(shù)學(xué)表述
假設(shè)有n個已知節(jié)點：
函數(shù)關(guān)系記為：?。
在區(qū)間??中插值多項式曲線：?
?
注意，這里頭曲線為，尾曲線為。
插值在節(jié)點處滿足條件：
（1）曲線經(jīng)過節(jié)點：
（2）曲線一階導(dǎo)連續(xù)（光滑）：
（3）曲線二階導(dǎo)連續(xù)（曲率最小）：
邊界條件：對兩端節(jié)點的約束。
（B1）自然(natural (or free))邊界條件
（B2）固定(clamped)邊界條件
固定一階導(dǎo)數(shù)：
?,
固定二階導(dǎo)數(shù)：
,?
（B3）非節(jié)點邊界(not-a-knot )
要求在第二個節(jié)點??和倒數(shù)第二個節(jié)點?，曲線的三階導(dǎo)也連續(xù)：
?
三次多樣式函數(shù)的計算
樣條函數(shù)采用n-1個三次多項式，每個三次多項式有4個參數(shù)，一共是4n-4個參數(shù)，
因此需要4n-4個方程。
條件（1）n-1個曲線每個兩端經(jīng)過節(jié)點，提供2（n-1）=2n-2個方程；
條件（2）n-1個曲線相鄰一階導(dǎo)連續(xù)，提供n-2個方程；
條件（3）n-1個曲線相鄰二階導(dǎo)連續(xù)，提供n-2個方程；
以上一共是4n-6個方程，還需要2個方程，這兩個方程由邊界條件提供，條件（B1）,?（B2）,?（B3）
每個均提供2個方程，這樣就湊夠了4n-4個方程。
計算的例子
n個節(jié)點，n-1條曲線。在區(qū)間? 內(nèi)，令第i條曲線為：
一二三階導(dǎo)分別為：
一階：??
二階：??
三階：??
接下來，套用節(jié)點條件和邊界條件：
先假設(shè)相鄰節(jié)點橫縱坐標(biāo)的差值分別為:?，。
條件（1）：曲線??已經(jīng)滿足第一個式子：；
第二式 ：?
(I)
條件（2）：
(II)
條件（3）：
(III) ? ?
邊界條件以非節(jié)點（Not-A_Knot）條件為例， 得：
(IV) ,?
聯(lián)立方程(I)和(II)， 分別消去??和??得：
,?
帶入方程(III)得：
(V)
這里i的最大值應(yīng)該取不到n-3，當(dāng)i=n-3時，上式左邊將出現(xiàn) ，而參數(shù)a的范圍是從0到n-2，
所以不存在這項，此式一共是n-2個方程。
另外，方程(II)和(III)都不支持?，需要單獨計算?：
由方程(I)，(III)分別有：
=>
由邊界條件方程(IV)中的? 得：
方程（V）取i=0有：
與上式聯(lián)立消去，得：
(VI)
另由? 得：
(VII) ?
? 方程(V), (VI), (VII)聯(lián)立，n-1個方程，n-1個未知數(shù)（），參數(shù)a得解，然后在算出參數(shù)b和c即可。
??
References:
[1] Wikipedia: spline interpolation
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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/tlz888/p/11454772.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的三次样条插值 cubic spline interpolation的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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