第 3 章　極限導論

如果沒有極限的概念, 那么微積分將不復存在. 這就是說,我們要花大量的時間來研究它們. 恰當的定義一個極限是非常有技巧的,但在沒有對細節深入討論的情況下,你也可以得到一個對極限的直觀的理解.它們對于解決微分和積分問題已經足夠了. 因此,本章僅僅包含對極限的直觀描述; 正式描述請參見附錄A. 總的來說,以下就是我們會在本章講解的內容：

• 對于極限是什么的一個直觀概念;

• 左、右與雙側極限, 及在 ∞ 和 -∞ 處的極限;

• 何時極限不存在;

• 三明治定理(也稱作“夾逼定理”).

3.1　極限：基本思想

讓我們開始吧. 我們從某個函數f和x軸上的一點出發,該點我們稱之為α.我們想要理解的是：當x真的非常接近于α, 但不等于α時,?f(x)是什么樣子？這是一個非常奇怪的問題,也許正因此人類很晚才發展出微積分來解決這個問題.

這里有一個例子顯示了為什么我們想要提出這樣的問題.令f的定義域為?\ {2}(除2以外的所有實數), 并設f(x) =?x?-1. 可以正式地寫作：

f(x)=x-1 當x≠2.

這看起來好像是一個古怪的函數. 畢竟,到底為什么我們要將2從定義域中去除掉呢？事實上,在下一章我們會看到f很自然地就是個有理函數(見4.1節中的第二個例子).同時, 讓我們取上述定義的f, 并畫其圖3-1.

圖　3-1

那么,?f(2)是什么呢？或許你會說f(2) = 1, 但那只是投機, 因為2根本不在f的定義域中.你所能做的最好的就是說f(2)是無定義的. 另一方面,當x真的非常接近于2的時候, 我們可以找到一些f(x)的值, 并看看將會有什么發生. 例如,?f(2.01)= 1.01, 及f(1.999)=0.999. 如果你想一下的話,你會發現當x真的非常接近于2的時候,?f(x)的值會真的接近于1.

還有, 令x充分地接近于2, 你可以盡可能地接近1, 而不是真的達到1.例如, 如果你想要f(x)在1±0.0001內, 你可以取在1.999 9和2.000 1中的任意的x值(當然是除了x?=2, 這是禁止的). 如果你想要f(x)在1±0.000 007內, 那么選取x的時候, 你最好更細心一點. 這一次,你需要取在1.999 993和2.000 007之間的任意值了(當然還是除了2).

不管怎么說, 在附錄A中的A.1節會對這些思想有更詳細的描述.在陷入那種情境下之前, 讓我們切入正題并寫出：

如果你大聲將它讀出來, 它聽起來應該像是“當x趨于2,f(x)的極限等于1. ”再次, 這意味著,當x接近于2(但不等于2)時,?f(x)的值接近于1.到底有多近呢？你想要多近就能多近.以上陳述的另外一個寫法是

f(x) → 1 當?x→ 2.

用這個進行計算會更難些,但其意義很清晰：當x沿著數軸從左側或者從右側走向2時,?f(x)的值會非常接近于1(并且保持接近！).

　現在, 我們取上述函數f并對它作一點改動. 事實上,假設有一個新的函數g, 如圖3-2圖像.

圖　3-2

函數g的定義域是所有實數, 并且,?g(x)可以被定義為如下的分段函數形式：

是什么呢？這里的關鍵是g(2)的值和該極限是不相關的！只有那些在x接近于2時的g(x)的值, 而不是在2處的值,才是問題的關鍵.如果我們忽略x=2, 函數g和我們之前看到的函數f就是完全相同的.因此, 正如以前那樣, 盡管g(2)=3,我們還是會有.

重要的是, 當你寫出如下形式的時候,

等式左邊事實上不是x的函數！記住,以上等式是說當x接近于2時,?f(x)接近于1. 事實上,我們可以將x替換成任意其他的字母, 上式仍然成立. 例如,當q接近于2時,?f(q)接近于1, 因此我們有：

我們也可以寫成：

并且可以繼續寫下去, 直到我們用光了所有的字母和字符!問題的關鍵在于, 在極限

中, 變量x只是一個虛擬變量.它是一個暫時的標記, 來表示某個(在上述情況下)非常接近于2的量.它可以被替換成其他任意字母,只要你在任何它出現的其他地方做調換就可以了; 同樣,當你求出極限值的時候, 結果不可能包含這個虛擬變量. 所以,面對虛擬變量時你要靈活應變.

3.2　左極限與右極限

　我們看到,極限描述了函數在一個定點附近的行為. 想想看, 如何來描述h(x) 在x?= 3附近的行為, 如圖3-3所示.

圖　3-3

當然, 就極限行為而言, 事實上h(3) =2是無關緊要的. 現在, 當你從左側接近于x?=3時會發生什么呢？想象一下, 你是一張圖片中的遠足者, 爬山下山.h(x)的值會告訴你, 當你的水平位置是x時,你的高度是多少. 因此, 如果你從圖片的左邊向右走, 那么,當你的水平位置接近于3時,你的高度就會接近于1.

當然, 當你到達x=3時就會陡然墜落（先不管上方的那個古怪的小突起）,但此時我們對此并不關心. 任何在x?= 3右側的值, 包含x?=3本身對應的值, 都是無關緊要的. 因此,我們就看到了h(x)在x=3的左極限就等于1.

另一方面, 如果你從圖片的右邊向左走, 那么, 當你的水平位置接近于x?=3時, 你的高度就會接近于-2. 這就是說,?h(x)在x?=3的右極限就等于-2. 任何在x?=3左側的(包含x?= 3本身)值都是無關緊要的.

我們可以將上述發現總結如下：

?及?

在上面第一個極限中3后的小減號表示該極限是一個左極限,在上面第二個極限中3后的小加號表示該極限是一個右極限.要在3的后面寫上減號或加號, 而不是在前面, 這是非常重要的！例如,如果你寫成：

　那么,你指的就是h(x)在x=-3時的通常的雙側極限,而不是h(x)在x?= 3時的左極限.這確實是兩個完全不同的概念. 順便說的是, 在左極限的極限符號底下寫x?→ 3-?的理由是此極限只涉及小于3的x的值. 也就是說,你需要在3上減一點點來看會有什么情況發生. 類似地, 對于右極限,當你寫x?→ 3+的時候,這意味著你只需要考慮如果在3上加一點點會有什么情況發生.

正如我們將在下一節看到的一樣, 極限不是總存在的.但重要的是：通常的雙側極限在x?=?a處存在, 僅當左極限和右極限在x=?a處都存在并且相等！在這種情況下, 這三個極限(雙側極限,左極限和右極限)都是一樣的. 用數學的語言描述, 我們有

?及?

和

是同一個極限. 如果左極限和右極限不相等,正如上述例子中的函數h, 那么, 雙側極限不存在. 我們最好是寫

不存在

或甚至可以用“DNE”來代替“不存在”.

3.3　何時不存在極限}

　我們剛剛看到,當相應的左極限和右極限不相等時雙側極限不存在. 這里有一個更戲劇性的例子. 我們考慮f(x) = 1/x?的圖像：是什么呢？期望雙側極限在那里存在有點不大可能.因此, 我們先來試著求一下右極限,?. 看一下圖3-4, 當x是正的并且接近于0時,f(x)看起來好像非常大. 特別是,當x從右側滑到0時,它看起來并不接近于任何數; 它就是變得越來越大了.但會有多大呢？它會比你能想象到的任何數都大！我們說該極限是無窮大,并寫作：

圖　3-4

類似地, 這里的左極限是 -∞ , 由于當x上升至0時,?f(x)會任意地變得越來越負. 這就是說：

　由于左極限和右極限不相等, 故雙側極限當然不存在. 另一方面,我們考慮函數g, 其定義為g(x) = 1 /x2.其圖像如圖3-5所示.

圖　3-5

此函數在x?= 0處的左極限和右極限都是∞,因此你也可以說. 順便說的是,現在我們有一個關于“垂直漸近線”正式定義：

“f在x=a處有一條垂直漸近線”說的是,和, 其中至少有一個極限是∞或-∞.

現在, 可能會出現左極限或右極限不存在的情況嗎？答案是肯定的！例如,讓我們來認識一個讓人心跳的函數g, 其定義為g(x) = sin(1/x}).此函數的圖像看起來會是什么樣的呢？首先, 讓我們來看一下x的正值.由于 sin(x)在x=π,2π,3π,…上的值全為0,那么, sin(1/x)在1/x=π,2π,3π,…上的值全為0. 我們取其倒數, 會發現sin(1/x)在上的值全為0.這些數就是sin(1/x)的x軸截距.在數軸上, 它們看起來如圖3-6所示.

圖　3-6

正如你看到的, 當接近于0的時候, 它們確實都擠在一起了.現在, 在每一個x軸截距間, sin(x)向上走到1或向下走到 -1, 因此, sin(1/x)也一樣. 我們把目前已知的畫出來, 得到圖3-7：

圖　3-7

那么,?是什么呢？以上圖像在x=0附近很雜亂.它無限地在1和-1之間振蕩, 當你從右側向x?= 0處移動時,振蕩會越來越快. 這里沒有垂直漸近線, 但是,那里也沒有極限1. 當x從右側趨于x=0時,該函數不趨于任何數. 因此, 我們說,?不存在(DNE). 我們在下一節會將y?= sin(1/x)的圖像補充完整.

1正式的證明請參見附錄A的A.3.4節.

3.4　在∞和-∞處的極限

還有一類我們需要研究的極限. 我們已經研究了在接近一點x?=?a時的函數行為. 然而, 有些情況下, 重要的是要理解當x變得非常大時,一個函數的行為如何. 換句話說, 我們感興趣的是,研究當變量x趨于∞時函數的行為. 我們想寫出如下形式：

并且想表達, 當x很大的時候,?f(x)變得非常接近于值L, 并且保持這種接近的程度.(更多詳情請參閱附錄A的A.3.3節. )重要的是要意識到, 寫“”表示f的圖像在y?=?L處有一條右側水平漸近線. 類似地,當x趨于-∞時, 我們寫出如下形式：

它表示當x變得越來越負(或者更確切地說, -x變得越來越大時)的時候,?f(x)會變得非常接近于值L,并且是持續接近于值L. 這當然和函數y?=?f(x)的圖像有一條左側水平漸近線是相對應的. 如果你愿意,也可以把這些轉化為定義, 并說成如下形式：

“f在y?=L處有一條右側水平漸近線” 表示.

“f在y?=M處有一條左側水平漸近線” 表示.

當然, 像y=x2這樣的函數沒有任何水平漸近線,因為當x變得越來越大時,?y值只會無限上升. 用符號表示,我們可以寫作. 還有一種極限不存在的情形. 例如,?是什么呢？就是說, sin(x)會變得越來越接近何值呢(并且保持這種接近狀態)？它只是在-1和1之間來回振蕩,因此, 它絕不會真正地接近任何地方. 此函數沒有水平漸近線,也不會趨于 ∞ 或 -∞; 你所能做的最好的是說不存在(DNE). 證明請見附錄A的A.3.4節.

　讓我們返回上一節看到的函數f,其定義為f(x) = sin (1 /?x).當x變得非常大時會怎么樣呢？好吧, 當x很大時, 1 /x會非常接近于0. 由于sin ( 0 ) = 0, 那么sin(1 /?x)就會非常接近于0.?x越大, sin(1 /x)就會越來越接近于0. 我的觀點有點粗略,但是希望你能相信2

2如果你不信,就請參見附錄A的A.4.1節!

因此, sin(1/x)在y=0處有一條水平漸近線.這使我們能夠擴展我們之前畫的y?= sin(1/x)的圖像, 至少是向右邊做擴展. 我們還應該關心一下當x?< 0時會發生什么情況. 這不是太糟糕, 因為f是一個奇函數.理由如下：

注意到, 我們使用的事實是, sin(x)是x的奇函數, 由sin(-1/x)得到 -sin(1/x). 這樣一來,由于奇函數有一個很好的性質, 就是關于原點對稱(見1.4節),我們可以完整地畫出y?= sin(1/x)的圖像,如圖3-8所示：

圖　3-8

同樣, 我們很難畫出當x在0附近時的情況.?x越接近0,此函數就會振蕩得越激烈, 當然, 該函數在x?= 0處無意義. 在上圖中,我選擇避免在中間畫出黑色的斑點,就是想讓你想象一下那里的振蕩會是什么樣子的.

大的數和小的數

希望我們都認同1 000 000 000 000 是一個大數. 那么, -1 000 000 000 000 呢？或許這會引起爭議,我想讓你把它看作是一個大的負數, 而不是一個小數. 舉個小數的例子,0.000 000 001, 然而, -0.000 000 001也是一個小數(更確切地說,是一個小的負數). 有趣的是, 我們不打算把0看作是個小數：它就是零.因此, 下面就是我們對于大數和小數的非正式的定義：

• 如果一個數的絕對值是非常大的數, 則這個數是大的.

• 如果一個數非常接近于0(但不是真的等于 0), 則這個數是小的.

　盡管上述定義將有助于我們在實踐中的應用,但這實在是一個沒有說服力的定義.“非常大”和“非常接近于0”這些都意味著什么呢？好吧,我們考慮下列極限方程：

正如我們以上看到的, 它表示當x是一個足夠大的數,f(x)的值就會幾乎等于L. 可問題是,多大才是“足夠大”呢？這取決于你想讓f(x)距離L有多近！不過, 從實際應用的觀點出發, 如果y?=f(x)的圖像看上去開始變得靠近在y?=?L的水平漸近線,那么這個數x足夠大. 當然, 任何事情都依賴于函數f的定義,正如你在圖3-9中看到的一樣：

圖　3-9

這兩種情況,?f(10)都不在L的附近. 在左圖中,當x至少是100時,?f(x)看上去非常接近于L, 因此,任何比100大的數都是大數. 在右圖中,?f(100)遠離L, 因此, 現在的100就不是足夠大了. 這種情形下,你可能需要走到200. 那么,你能夠只選取一個像1 000 000 000 000這樣的數,并且說它已經很大了嗎？不可以, 因為一個函數,在它變得趨于它的水平漸近線之前, 可能會徘徊,直到5 000 000 000 000. 問題是,“大的”這個詞必須參與到某個函數或極限中. 幸好,有很大的空間向上移動——甚至一個像1 000 000 000 000這樣的數,相對于10100(古戈爾)來說還是相當的小,而10100與101 000 000比起來又是那么的微不足道…….順便要說的是, 我們會經常使用術語“在∞附近”來代替“大的正的”. (在字面意義上說,一個數不可能真的在∞附近, 因為∞無窮遠. 盡管如此,我們用?x?→ ∞ 的極限來表示.)

當然, 除了你在所有的大的正的數前面添加一個負號之外,所有的這些都適用于?x?→ ∞ 的極限. 在這種情況下,我們有時會說“在 -∞ 附近”來強調我們所指的是大的負的數.

另一方面, 我們會經常看到下列形式的極限方程：

?或?

在上述三種情況下, 我們知道, 當x足夠接近于0時,f(x)的值幾乎是L. (對于右極限,?x也必須為正,而對于左極限,?x也必須為負. )此外,x必須離0多近呢？這取決于函數f. 因此,當我們說一個數是“小的”(或者“接近于0”)的時候,我們必須依據某個函數或極限來看待它, 正如對于“大的”情況一樣.

盡管這方面的討論真的是強化了上述站不住腳的定義, 它仍然不完美.如果你想學更多的相關知識, 你真的應該查看一下附錄A的A.1節和A.3.3節.

3.5　關于漸近線的兩個常見錯誤認知

現在看來, 到了糾正一些關于水平漸近線的常見錯誤認知的好時機了.首先, 一個函數不需要在左右兩邊有相同的水平漸近線. 在3.3節f(x) = 1/x的圖像中, 左右兩側都有y=0這條水平漸近線. 這就是說

?和?

然而, 我們考慮圖3-10中y?= tan-1(x)的圖像(或者你更喜歡反三角函數y?= arctan(x), 你可以使用這兩種寫法中的任意一種)：

圖　3-10

此函數在y=π/2處有一條右側水平漸近線,在y=-π/2處有一條左側水平漸近線, 它們是不同的.我們也可以用極限來表示：

?及?

因此, 一個函數的確可以有不同的右側和左側水平漸近線,但最多只能有兩條水平漸近線(一條在右側, 另一條在左側).或許它一條都沒有, 也或者只有一條. 例如,?y?=2x有一條左側水平漸近線, 但是沒有右側水平漸近線(見1.6節的圖像).這和垂直漸近線相反：一個函數可以有很多條垂直漸近線(例如,y?= tan(x)有無窮多條垂直漸近線).

另外一個常見的錯誤認知是說一個函數不可能和它的漸近線相交.或許你已經看到了, 漸近線是一條讓函數越來越接近,但是永遠不會相交的直線. 這不正確,至少當你談及水平漸近線的時候它是不正確的. 例如,我們考慮定義為f(x) = sin(x)/x的函數f, 這里, 我們只關心當x是很大的正數時的函數行為. sin(x)的值在 -1 和1之間振蕩, 因此, sin(x)/x的值在曲線y?= -1/x和y?= 1/x之間振蕩. 此外,sin(x)/x和 sin(x)有相同的零點,即 π ,2π ,3π,…. 綜合所有的信息, 其圖像如圖3-11所示.

圖　3-11

在圖像中用虛線表示的曲線y=1/x和y=-1/x形成了正弦波的包絡.在任何情況下, 正如你從圖像中看到的,如果世界上還有一點真理存在的話, 那么下列形式將是正確的

這意味著, 盡管y?=?f(x)的圖像和坐標軸一次又一次地相交,我們有x軸是f的水平漸近線. 現在, 為了證明上述極限,我們需要應用所謂的三明治定理. 證明就在下一節的結尾部分.

3.6　三明治定理

　三明治定理又稱作夾逼定理,說的是, 如果一個函數f被夾在函數g和h之間, 當x?→?a時,這兩個函數g和h都收斂于同一個極限L, 那么, 當x?→?a時,?f也收斂于極限L.

這里是對該定理的一個更精確的描述. 假設, 對于所有的在a附近的x,我們都有g(x) ≤?f(x) ≤?h(x). 即f(x)被夾在(或被擠在)g(x)和h(x)之間. 此外, 我們假設并且. 那么,我們可以得出結論：; 即當x?→?a時, 所有三個函數都有相同的極限.像往常一樣, 圖3-12會告訴我們一切.

圖　3-12

在圖像中用實心曲線表示的函數f的確被夾在其他兩個函數g和h之間;當x?→?a時,?f(x)的極限被迫趨于L.(三明治定理的證明見附錄A的A.2.4節. )

　對于單側極限, 除了不等式g(x) ≤?f(x) ≤?h(x)僅在我們關心的a的一側成立之外,我們有一個類似三明治定理的描述. 例如, 下式是什么呢?

y=x?sin(1/x)的圖像和y=sin(1/x)的圖像很相似,只是現在, 前面有一個x致使函數陷于包絡y=x和y=-x之間.圖3-13是x在0和0.3之間時的函數圖像.

圖　3-13

從上圖中我們仍然看到, 當x趨于0時, 函數有強烈的振蕩,但是現在它們被包絡線抑制著. 特別是,求我們想要的極限就是三明治定理的一個完美應用.函數g是下方的包絡線y?= -x, 而函數h是上方的包絡線y?=?x.我們需要證明對于x?> 0, 有g(x) ≤?f(x) ≤?h(x). 由于我們只需要f(x)在x?= 0處的右極限, 所以我們不關心x?< 0時的情況.(事實上, 如果你將直線擴展到 -x, 你可以看到, 對于x?< ,?g(x)實際大于h(x), 因此,三明治定理不適用！)所以, 當x>0時, 要怎樣證明g(x) ≤?f(x) ≤?h(x)呢?我們將會用到任意數的正弦(在我們的例子中是1/x)都包括在-1和1之間這樣的事實：

現在我們用x乘以這個不等式, 太棒了, 因為x?> 0,我們得到：

而這正是我們需要的g(x) ≤?f(x) ≤?h(x). 最后, 注意到

?及?

因此, 由于當x?→ 0+?時, 三明治函數g(x)和h(x)的值收斂于同一個數——0,?f(x)也一樣. 這就是說, 我們證明了

請記住, 如果前面沒有因子x, 上式一定不成立;正如我們在3.3節看到的, 當x?→ 0+?時, sin(1/x)的極限不存在.

　我們還沒有解決上一節結尾部分的極限的證明問題！別忘了我們想證明的是

為了證明此公式, 我們必須使用一個略有不同的三明治定理,涉及在∞處的極限. 在這種情況下,我們需要對于所有的很大的x, 都有g(x) ≤?f(x) ≤?h(x)成立; 那么, 如果我們知道并且,我們也可以說,?. 這幾乎是和三明治定理對于有限處的極限是一致的.為了建立上述極限, 我們還要用到, 對于所有的x, 都有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1, 但這次, 對于所有的x > 0,我們要用該不等式除以x得到

現在, 令x?→ ∞, 由于, -1/x?和 1/x?的極限都是0, sin(x)/x的極限必為0.也就是說, 由于

?及?

我們也必須有

總之, 以下就是三明治定理：

如果對于所有在a附近的x都有g(x) ≤?f(x) ≤?h(x),且, 則?

這對于左極限或右極限也適用; 在那種情況下,不等式只需要在a的適當的一側對于x成立即可. 當a是∞或-∞時它也適用; 在那種情況下,對于所有的非常大的(分別是正的或負的)x, 不等式必成立.

3.7　極限的基本類型小結

　我們已經看到很多不同的極限的基本類型了.下面我們展示一些最常見的可能性并有代表性的圖,以此來結束本章.

1. 在x=a時的右極限.在x=a的左側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的.(也就是說, 對于x?≤?a,?f(x)取何值都不要緊,我們只關心右極限. 事實上, 對于x?≤?a,?f(x)甚至不需要被定義. )如圖3-14所示.

圖　3-14

2. 在x=a時的左極限.在x=a的右側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的.如圖3-15所示.

圖　3-15

3. 在x=a時的雙側極限. 在下面的第一個圖中,左極限和右極限存在但不相等, 因此, 雙側極限不存在.在下面的第二個圖中, 左極限和右極限存在并相等, 因此,雙側極限存在并且等于左右極限值.?f(a)的值是無關緊要的. 如圖3-16所示.

圖　3-16

4. 在?x?→ ∞ 時的極限. 如圖3-17所示.

圖　3-17

5. 在?x?→ -∞ 時的極限. 如圖3-18所示.

圖　3-18

from:?http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2311

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本：第 3 章　极限导论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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