該試卷分兩部分: 分析 $5$ 題 (共 $50$ 分), 代數 $5$ 題 (共 $50$ 分). 考試時間: $120$ 分鐘

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1. ($10'$) 對哪些實數 $\al$, 級數 $\dps{\vsm{n}\sex{\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}}^\al}$ 收斂?

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2. ($6'$) 設 $y$ 是 $[0,1]$ 上 $C^1$ 光滑實函數, 滿足方程 $$\bex y''(x)+y'(x)-y(x)=0,\quad x\in (0,1), \eex$$ 且 $y(0)=y(1)=0$. 試證: $y(x)=0,\ x\in [0,1]$.

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3. ($10'$) 設 $f$ 是 $\bbR^2$ 上的有界連續實函數, 定義 $$\bex g(x)=\int_{\bbR} \frac{f(x,t)}{1+t^2}\rd t,\quad x\in\bbR. \eex$$ 試證: $g(x)$ 是 $\bbR$ 上的連續函數.

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4. ($10'$) 設 $f$ 是 $[1,\infty)$ 上連續可微實函數, 滿足 $f(1)=1$, 且 $$\bex f'(x)=\frac{1}{f^2(x)+x^2},\quad x\in (1,\infty). \eex$$ 試證: $\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在且不超過 $\dps{1+\frac{1}{4}\pi}$.

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5. ($14'=2\times 7'$) 設 $f$ 是 $[0,1]$ 上連續實函數, 計算下列極限并證明你的結論: (1). $\dps{\vlm{n}\int_0^1 x^nf(x)\rd x}$; (2). $\dps{\vlm{n}n\int_0^1 x^nf(x)\rd x}$.

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6. 對整數 $a,b$, 定義 $a\equiv b\ (\mod m)$ 當且僅當 $m\mid(a-b)$ (即 $m$ 整除 $a-b$). 正整數 $m$ 取何值時, 一下線性方程組有解? $$\bex \sedd{\ba{rrrrrrl} x&+&2y&-&z&\equiv&1\ (\mod m)\\ 2x&-&3y&+&z&\equiv&4\ (\mod m)\\ 4x&+&y&-&z&\equiv&9\ (\mod m) \ea} \eex$$

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7. 設 $\tt$ 是實數, $n$ 是自然數, 求 $$\bex \sex{\ba{cc} e^{-i\tt}&2i\sin \tt\\ 0&e^{i\tt} \ea}^n. \eex$$

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8. 設 $A,B\in M_n(\bbC)$ ($n$ 階復矩陣), 回答以下問題并說明理由: (1). $AB$ 與 $BA$ 是否相似? (2). $AB$ 與 $BA$ 是否有相同的特征多項式? (3). $AB$ 與 $BA$ 是否有相同的極小多項式?

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9. 證明實數域上的有限維線性空間不可能是有限個真子空間的并, 再討論有限域情形.

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10. 設 $T:V\to V$ 是復數域 $\bbC$ 上有限維線性空間 $V$ 上的冪零算子 (即存在正整數 $k$, 使得 $T^k=0$), $I$ 是單位算子. 求線性算子 $S$, $Q$ 使得 $S^2=I+T$, $Q(I+T)=I$.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的[家里蹲大学数学杂志]第405期中国科学院数学与系统科学研究院2015年夏令营分析与代数试题...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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