常微分方程（ODE） 的時(shí)候我們更多是關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。偏微分方程（partial differential equation) 則不僅僅是與時(shí)間相關(guān)，加上了與空間位置相關(guān)的一些信息。

解

當(dāng) ODE 滿足 利普希茨連續(xù)（Lipschitz continuity），我們就可以有唯一解。但是 PDE 我們可能并沒(méi)有這樣好的性質(zhì)，我們不知道它是否應(yīng)該有解，很多時(shí)候也許我們就是用有限元方法（finite element method）來(lái)模擬，如果看到的結(jié)果還不錯(cuò)的話，我們就當(dāng)這個(gè)就是它的解，o(╯□╰)o

運(yùn)算符

首先需要搞清楚： 梯度、散度、旋度、拉普拉斯 運(yùn)算符:

關(guān)于 梯度、散度、旋度 以及 拉普拉斯可以理很久，如果需要復(fù)習(xí)，可以參見(jiàn)之前我寫過(guò)的兩篇：

• 梯度旋度散度
• 梯度、散度、旋度

在 物理 有關(guān)的偏微分方程中，如果函數(shù)是 f(t; x, y, z)， 當(dāng)我們寫到 nabla 運(yùn)算符是

,是與 t 無(wú)關(guān)的。

納維-斯托克斯方程 Navier-Stokes equations

Navier-Stokes equations 是大概做流體模擬的一個(gè)基礎(chǔ)方程，是一個(gè)典型的 PDE 方程：

或者我們用 wikipedia 中的寫法：

光看這個(gè)形式就很復(fù)雜了，是否可解這里光看式子就會(huì)想打上很多問(wèn)號(hào)？？？所以克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年七大問(wèn)題之一就是有關(guān)于 Navier-Stokes equations，

Prove or give a counter-example of the following statement:
In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.

價(jià)值 $1,000,000

其它的百萬(wàn)問(wèn)題還包括：

• P vs NP
• 霍奇猜想
• 龐加萊猜想
• 黎曼猜想
• ...

麥克斯韋方程組 Maxwell's equations

最最出名的 PDE 應(yīng)該是 - 麥克斯韋方程組：

拉普拉斯方程 Laplace's equation

拉普拉斯方程非常出名， 形式簡(jiǎn)單：

它是泊松方程的特殊形式。

拉普拉斯方程又被稱為調(diào)和方程。因?yàn)檎{(diào)和函數(shù)（harmonic function）的定義也就是函數(shù)滿足拉普拉斯方程。

之所以被定義為調(diào)和（harmonic）大概起因和 泛音(overtone)相關(guān)。

關(guān)于 調(diào)和函數(shù) 的另一種感性的理解就是如果我們把 拉普拉斯運(yùn)算符 看成 類似二階導(dǎo)一樣的東西。

• 對(duì)于 : 二階導(dǎo) 決定了這個(gè)函數(shù)的 凹凸性, 或者說(shuō) 二階導(dǎo) 決定了這個(gè)點(diǎn)周圍的函數(shù)值是比它大還還是比它小。二階導(dǎo) 在這里變成了我們比較函數(shù)的與它鄰居的大小。

• 對(duì)于 : 如果把它看成類似二階導(dǎo)，那么我們假設(shè)取一個(gè)點(diǎn)，然后看它周圍的圓（球，反正是與這個(gè)點(diǎn)距離相等的函數(shù)上的點(diǎn)），它們的平均值是跟這個(gè)點(diǎn)是一樣的。

比如上面的 harmonic function:

， 雖然難以想象，但是比如我們?cè)谥先我馊∫粋€(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)周圍的圓上面的函數(shù)值的平均是一樣的，在平坦的部分還容易想到這個(gè)結(jié)論，在有起伏的地方比較難想象到。

平均值一樣,某種意義上就代表穩(wěn)定。

以下的兩個(gè)說(shuō)法來(lái)自知乎問(wèn)題： 調(diào)和函數(shù)到底有什么意義？

物理上可以用來(lái)描述一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，比如定常的溫度場(chǎng)，自由電場(chǎng)電勢(shì)，引力勢(shì)能等等。數(shù)學(xué)上，比如說(shuō)調(diào)和函數(shù)直接對(duì)應(yīng)到復(fù)變里面的全純函數(shù)，微分幾何里面調(diào)和函數(shù)對(duì)應(yīng)的是極小曲面，黎曼幾何里調(diào)和函數(shù)可以推廣到調(diào)和形式，然后就可以有Hodge 分解……上面每一個(gè)都可以展開(kāi)，而且我強(qiáng)烈感覺(jué)我沒(méi)想全……簡(jiǎn)直太有意義了
調(diào)和函數(shù)的線性組合仍為調(diào)和函數(shù)，所以是一個(gè)函數(shù)空間。調(diào)和函數(shù)無(wú)限次可導(dǎo)。調(diào)和函數(shù)在定義域的緊子集的邊界上達(dá)到最大最小值，這是一種類似單調(diào)的性質(zhì)。加上其他的一些性質(zhì)，導(dǎo)致調(diào)和函數(shù)容易處理也更可能滿足某些規(guī)律。以上是數(shù)學(xué)工作者看重的某些意義，你或許會(huì)覺(jué)得這不叫意義，那么可以考慮在物理學(xué)上的意義：二階偏導(dǎo)的和等于零，對(duì)應(yīng)于加速度的和為零，即可以描述系統(tǒng)不受力的狀態(tài)，即穩(wěn)態(tài)。當(dāng)不能刻畫系統(tǒng)在每一時(shí)刻的狀態(tài)，卻能用調(diào)和函數(shù)描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的狀態(tài)，調(diào)和函數(shù)就顯得非常有意義了。

回頭繼續(xù), 先扔一個(gè)問(wèn)題的 setup：

也就是我們給定區(qū)域

， 它有邊界 ，邊界上 有函數(shù) ，我們想要找到一個(gè)函數(shù)滿足 ，也就是在這個(gè)邊界上相等。

那么

是在干什么呢？實(shí)際上這個(gè)函數(shù)有自己的名字 - 狄利克雷能量(Dirichlet's energy)：

這個(gè) energy function 代表的是什么？

梯度代表的是 函數(shù) 的變化，類似于導(dǎo)數(shù)，這個(gè)一整個(gè) 梯度的 l2 norm的平方積分 - 導(dǎo)數(shù)變化求和，最小化 它 也就是最小化函數(shù)的變化。所以上面這個(gè)問(wèn)題也就是在嘗試：

• 在邊界滿足 f = g
• 最小化函數(shù) f 在區(qū)域內(nèi)的變化

也就是讓函數(shù)盡量光滑，所以也就是 f 'as smooth as possible'.（ 記得之前還有過(guò) 'as rigid as possible')

可用變分解出，f 需要滿足 拉普拉斯方程。

考慮任意h，需要有：

考慮

關(guān)于

求導(dǎo)：

上述推導(dǎo)對(duì)于任何 h 都成立，特殊的，我們?nèi)?

， 然后利用分布積分，其實(shí)也就是 格林恒等式：

上面式子可以轉(zhuǎn)化為：

這個(gè)式子恒等于0，所以也就是：

也就是我們需要求解的 PDE 為：

其實(shí)也就是 狄利克雷問(wèn)題（Dirichlet problem）：

給定定義在 中一個(gè)區(qū)域的邊界上一個(gè)函數(shù) g，是否存在惟一連續(xù)函數(shù) f 在內(nèi)部?jī)纱芜B續(xù)可微，在邊界上連續(xù)，使得 f 在內(nèi)部調(diào)和并在邊界上 f = g ？

其實(shí)這個(gè)也蠻像插值問(wèn)題的，比如之前的插值， 給一些點(diǎn)，推斷出函數(shù)的模樣。維度升級(jí)了，給一個(gè)邊界，想要知道函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的全貌。

調(diào)和分析 Harmonic analysis

這也是一類PDE問(wèn)題，解特征方程。

邊界條件 Boundary Value Problems

狄利克雷問(wèn)題（Dirichlet problem）是給定邊界，推斷函數(shù)。類似的還包括：

• 狄利克雷邊界條件 Dirichlet conditions:
• 諾伊曼邊界條件 Neumann conditions:
• 混合 Robin boundary condition: 類似

二階PDE

二階PDE 的一般形式是：

我們也可以把上述方程寫成：

我們可以根據(jù)上面的式子來(lái)分類：

• A 是 正定矩陣 或者 負(fù)定矩陣 （特征值全為正或者全為負(fù)） ： 橢圓型 elliptic
• A 是 半正定矩陣 或者 半負(fù)定矩陣 （特征值除了全正或者全負(fù)，可以加上0）： 拋物型 parabolic
• A只存在一個(gè)特征值和其他特征值符號(hào)不同 ： 雙曲型 hyperbolic
• 不滿足上述條件 ： 超雙曲型 ultrahyperbolic

橢圓型 PDE

• 有解 & 唯一解
• 拉普拉斯/泊松方程

拋物型 PDE

• 短時(shí)間內(nèi)的解是存在/唯一的
• 熱方程：
• 邊界條件 需要跟時(shí)間、空間相關(guān)

雙曲型 PDE

• 波動(dòng)方程:
• 邊界條件: 一階導(dǎo)

微分看成算子

微分很容易驗(yàn)證其為成線性算子。

先看一維簡(jiǎn)單的例子，之前在數(shù)值積分和微分中已經(jīng)討論過(guò)，比如我們可以用離散、差分等方式把

看成:

所以如果假設(shè) f(x) 在 [0,1] 上有：

那么，這里就從微分到了差分，其實(shí)應(yīng)該也 '≈' :

或者寫成：

如果我們把

寫成向量 ， 把 寫成向量 ，上面的式子可以寫成:

那么根據(jù)邊界條件的不同，

可以為：

Dirichlet

Neumann

周期性 f(0) = f (1)

然后我們就像解線性系統(tǒng)一樣來(lái)解這個(gè)系統(tǒng)了。

即使是 2D 的網(wǎng)格，我們也可以用類似的方法來(lái)離散：

感覺(jué)自己在有限元的邊緣試探，o(╯□╰)o

參考：

- 大量參考wikipedia

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的参数方程求二阶偏导_偏微分方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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