插值算法

• 作用（目的）：在數(shù)學建模中，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)是極少的，不足以支撐分析時，需要使用一些數(shù)學的方法，“模擬產(chǎn)生“一些新的但又比較靠譜的值來滿足需求。

• 相關(guān)概念：插值函數(shù)，插值，插值法
  

• 插值法的分類：分段插值（最經(jīng)常使用），插值多項式，三角插值
  

插值法原理

一般插值多項式原理

插值法

• 拉格朗日插值法（一種多項式插值方法）
  在若干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。
  
  
  
• 分段線性插值
  （1）分段低次插值
  采用分段低次插值可以提高插值的精度，因為當插值多項式次數(shù)高時其精度未必顯著提高，且易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，插值多項式的次數(shù)越高攝入誤差可能顯著增大。
• 分段二次插值（分段拋物插值）
  
• 牛頓插值法
  
• 埃爾米特（Hermite）插值
  （1）基本思路：函數(shù)值對應(yīng)，導數(shù)值對應(yīng)
  
  （2）埃爾米特（Hermite）插值原理
  
• 分段三次埃爾米特插值
  直接使用Hermite插值得到的多項式次數(shù)較高，但也存在龍格現(xiàn)象，因此在實際應(yīng)用中，往往使用分段三次Hermite插值多項式（PCHIP）

%在matalab中有內(nèi)置函數(shù) p = pchip(x,y,new_x) %x是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x是要插入處對應(yīng)的橫坐標 %matlab中的plot()函數(shù) plot(x1,y1,x2,y2) %線方式：-實線：點線-.虛點線--波折線 %點方式： .圓線 +加號 *星號 x x型 o 小圓 %顏色： y黃色 r紅色 g綠 b藍 w白 k黑 m紫 c q青 %給每一張圖片進行標號 figure(1)

• 三次樣條插值
  （1）基本思路： 函數(shù)值相等，三次多項式，二階連續(xù)可微
  （2）構(gòu)造方法
  

%在matalab中有內(nèi)置函數(shù) p = spline(x,y,new_x) %x是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x是要插入處對應(yīng)的橫坐標 legend(string1,string2,string3,……,'Location','SouthEast') %分別表示將字符串1、字符串2、字符串3……標注到圖中，每個字符串對應(yīng)的圖標為畫圖時的圖標。 %Location 用來指定標注顯示的位置

• n維數(shù)據(jù)的插值

%在matalab中有內(nèi)置函數(shù) p = interpn(x1,x2,x3,……,xn,y,new_x1,new_x2,……，new_xn,method) %x1,x2,……,xn是已知的樣本點的橫坐標 %y是已知的樣本點的縱坐標 %new_x1,new_x2,……,new_xn是要插入處對應(yīng)的橫坐標 %method是插值的方法 'linear':線性插值（默認算法） 'cubic':三次插值； 'spline':三次樣條插值法（最為精準） 'nearest':最鄰近插值算法

總結(jié)：上面學的這些插值算法可用于短期預測，但在實際的建模中一般采用擬合算法來進行預測

牛頓插值法vs拉格朗日插值法

與拉格朗日插值法相比，牛頓插值法的計算過程更具繼承性，但是這兩種方法都易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象。且這兩種插值方法僅僅只要求插值多項式在插值點處于被插函數(shù)有相等的函數(shù)值，而不能全面反映被插值函數(shù)的性態(tài)（導數(shù)值）。

龍格現(xiàn)象

高次插值會產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，即在兩端處波動極大，產(chǎn)生明顯的震蕩。因此在不熟悉曲線運動趨勢的前提下，不要輕易使用高次插值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的清风数学建模——插值算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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