現代數學專論周** 紡織學院紡 織材料與紡織品設計專業 紡碩1507班 學號c21500**

摘要 現代數學中，建立在測度論基礎上的概率論與數理統計在理論研究和實際工業、經濟、管理等領域應用起到了重要作用。故加深對其認識也顯得愈加必要。作為以前沒有深入了解過數學專業的工科學生，我想在這篇文章中扼要厘清測度論及其相關的知識板塊，并證明部分基礎定理。希望沒有渾渾噩噩的混過這門嚴肅而又有趣的課程，希望能小有所學，希望能通過對測度論(包括概率論和數理統計)的基礎認識，對以后的學習、研究生涯做一定鋪墊。而且對于數學的崇敬和向往也使我對這門課程和閆老師有所期待和相當感激。限于自己在這個領域的能力，本文可能有較大篇幅參考其他專著和文獻，懇請閆老師和其他讀者寬諒。本文講述基礎概念，如集合論、概率、隨機變量與分布函數、數學期望和條件數學期望和中??極限定理，把測度論的基本內容和概率論的基本內容結合在一起講述,在本文后半部分主要解決閆老師課上布置的幾道題目。

關鍵詞 集合論 測度論 概率論 隨機過程 習題證明

背景基礎知識(集合論)

在建造房子時，建設者會用與其他部分不一樣的材料來打造地基，同樣對于每一個數學分支都以公理集合論作為其理論基礎，這個基礎被大多數關注基礎理論的邏輯學家和數學家所接受，但是只有少數數學家有時間或意愿去詳細研究公理集合論。作用另一個比喻，高級計算機語言和他們編寫的程序建立了計算機軟件的基礎。但是編寫高級計算機語言的人需要了解多少計算機操作系統的知識則取決于他手邊的問題。在現代實分析、測度論中，集合論的問題要比以前代數、復分析、幾何和應用數學中的問題要多。例如，在實分析中相對較近發展的“非標準分析”允許正數可以無限小但不為零。非標準實分析比早期發展的實分析更強的依賴于集合論的特性。這里給出集合論的最基本知識。1、集合論的定義和實數系定義至少有兩個目的。首先，就像一本普通字典一樣，定義試圖給出見解，傳達一種思想，或者用熟悉的概念去解釋陌生的概念，但并不詳盡說明或徹底研究所定義單詞的全部意義，我們稱這種定義為非形式定義。但在大多數數學和其它科學領域中，形式定義實完全準確的，因此，人們可以科學地判斷一個有關命題的真偽。在形式定義中，一個熟悉的術語(例如，普通的長度單位或是數字)可以用不熟悉的術語定義。集合論中大多數定義都是形式的。其次集合論的另一個目的是不單為自己也為所有數學分支提供清晰的邏輯結構，由此就產生從哪里開始定義的問題。非形式的字典定義常常有一些同義詞組成。例如，字典中“渺小”與“微小”相互定義，這種定義對于知道其中一個詞的人來說有幫助，但是對于一個通過字典來學習漢語的人來說，這種定義是無效的。這種情況在一定程度上反映了人們在學習中所遇到的困難，因為字典中所有單詞都是用其他單詞來定義的。因此人們在開始時至少弄清字典中一些單詞的意思，而不是在用到時才去翻字典。有些單詞(例如“與”、“或”和“但是”這三個連接詞)非常常見，但很難用另外的詞來定義。這是我們通過一些規則來定義含有連詞的句子的含義，其中用這些連詞連起來的單詞或短語的詞義我們已經給定。乍一想，你也許認為集合論最重要的定義是“集合”，但是恰恰相反，因為數學的整個邏輯結構規約為集合或是由集合來定義，因此不能給出它的一個形式的定義。相反，有一些規則(公理、推理規則等)能起到定義集合的作用。一個初步的、非形式的集合定義是“任何數學對象的全體”，但是隨著學習的深入我們對這個定義不斷地加以明確和修正。在某些方面，定義集合的問題類似于定義數的問題。經過幾年的學習之后，學生們知道了0、1、2、3，... 這些數，并且知道了它們之間的運算規律，但是很多人還是很難確切地說明什么是數，即使人們完全同意算術規律，但是不同的人可能會給出數字“1”的不同定義。一種方法是從0開始，通過取“后繼者”或下一個更大的數。如果定義了0，那么0之后的數也就確定了。如果用0及它的后繼者來定義一個序列0，0',0",0"',...我們可以得到通常的整數定義。為了做到這一點，我們將在等號之前加上冒號“：=”表示“定義為相等”，例如1:=0'，2:=0"，3:=0"',等等，這樣一直做下去，這些定義都是精確的，這樣人們可以得到一本厚厚的字典，相當精確(盡管不太實用)但還不完整，因為0和后繼者運算沒有被形式定義。大多數數系結構可以通過給定的0和后繼者的規則來確定。例如，一種規則是：假如m'=n'，則m=n.簡言之，如果我們想要盡可能精確地建立嚴格的數學邏輯結構，那么非形式的定義會幫助人們解釋結構。然而，我們至少還要保留一些未被定義的基本概念。下面給出公理體系和其他規則。這里再次給出集合的非形式定義：一個集合是任何對象的全體。在數學上，這種對象將是數學對象，例如數、點、向量

總結

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