1 生成子空間的定義

給定數域$P$上的線性空間$V$中的一組向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$，我們希望得到一個$V$的子空間$W$，使得$W$中包含向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$， 那么$W$應該是怎樣的呢？

由線性空間對數乘運算的封閉性，我們知道，下面的這些向量應該在$W$中：$k_i{\alpha }_i,i=1,2,?,r.$

又由于線性空間對加法封閉，所以$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_r{\alpha }_r$也在$W$中.

于是我們得到下面的集合：

$$W=\{k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+?+k_r{\alpha }_r|{\alpha }_i\in V,k_i\in P\}.$$

可以證明，$W$對加法和數乘封閉：

$?\alpha ,\beta \in W,?\lambda \in P,$ 不妨設，

$$\alpha =\sum _{i=1}^r{k}_i{\alpha }_i,\beta =\sum _{i=1}^r{l}_i{\alpha }_i,$$

因為，

$$\alpha +\beta =\alpha =\sum _{i=1}^r(k_i+l_i){\alpha }_i\in W,$$
$$\lambda \alpha =\alpha =\sum _{i=1}^r\lambda k_i{\alpha }_i\in W,$$

所以，$W$對加法和數乘封閉，從而是滿足條件的$V$的子空間。

定義 給定數域$P$上的線性空間$V$中的一組向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$，由這組向量的一切可能的線性組合構成的集合$W$是$V$的子空間，稱之為由向量${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$生成的子空間，記為$L({\alpha }_1,?,{\alpha }_r)$。${\alpha }_1,?,{\alpha }_r$稱為$W=L({\alpha }_1,?,{\alpha }_r)$的一組生成元。

2 生成子空間的交空間

例 1 在$R^3$中，設$i,j,k$為直角坐標系$oxyz$中三個坐標軸上的單位向量。令$V_1=L(i,j),V_2=L(j,k)$, 則$V_1\cap V_2=L(j).$

直觀解釋： $V_1$是$xoy$平面，$V_2$是$yoz$平面, 而$V_1\cap V_2=L(j)$是$y$軸。

例 2 已知在4元有序數組空間$P^4$中，
$${\alpha }_1=(1,2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(?1,1,1,1{)}^T,$$

$${\beta }_1=(2,?1,0,1{)}^T,{\beta }_2=(1,?1,3,7{)}^T,$$

求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數。

分析： 找出交空間中的任意一個向量的表達式，可以看出它是有哪些向量生成的，就可以找到交空間的一組基。

解： 設$?\alpha \in L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2),$那么，

$$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=x_3{\beta }_1+x_4{\beta }_2,$$

從而，

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2?x_3{\beta }_1?x_4{\beta }_2=0,$$

為了解岀這個方程組，令其系數矩陣為，

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,?{\beta }_1,?{\beta }_2\end{array}\right)$$

$$A=?\begin{array}{cccc}1& ?1& ?2& ?1\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& ?3\\ 0& 1& ?1& ?7\end{array}?\to ?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& ?4\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?,$$

所以，

$$?\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}?=t?\begin{array}{c}?1\\ 4\\ ?3\\ 1\end{array}?,t\in P.$$

將$x_1=?t,x_2=4t$代入表達式$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2,$得

$$\alpha =t(?{\alpha }_1+4{\alpha }_2)=t?\begin{array}{c}?5\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}?,$$

$$\eta =?\begin{array}{c}?5\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}?$$

由于$\alpha$是交空間中的任意向量，它被表示成了一個向量$\eta$的線性組合，于是 $\eta$ 就是交空間 $L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基，維數等于1。

注： 事實上，$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)\cap L({\beta }_1,{\beta }_2)=L(\eta ).$

3 生成子空間的和空間

例 3 已知在4元有序數組空間$P^4$中，
$${\alpha }_1=(1,2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=(?1,1,1,1{)}^T,$$

$${\beta }_1=(2,?1,0,1{)}^T,{\beta }_2=(1,?1,3,7{)}^T,$$

求和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數。

分析： 由和空間的公式：$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2),$ 所以和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的基和維數就可以轉化為求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基和維數。

解： 因為$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2),$ 為了求$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基，令

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2\end{array}\right),$$

$$A=?\begin{array}{cccc}1& ?1& 2& 1\\ 2& 1& ?1& ?1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 1& 1& 7\end{array}?\to ?\begin{array}{cccc}1& ?1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 7\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?,$$

所以，$r(A)=3$, $A$的極大無關組為${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$，即

和空間$L({\alpha }_1,{\alpha }_2)+L({\beta }_1,{\beta }_2)$的一組基為${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$，維數為3。

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總結

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