目錄：

• vector space （向量空間）
• subspace space （子空間）
• 由Ax=b理解column space （列空間）
• 由Ax=0理解null space（零空間），求解Ax=0的主變量及特解
• 矩陣的秩（rank）

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1. 向量空間
從字面理解，向量所在的空間，即列向量所處的空間維度。
Definition: The space Rn consists of all column vectors v with n components.
性質： 向量間相加，向量間的數乘以及線性組合仍然在此空間中。
Rn中用R的原因是向量中每個值都是real number，如果向量中每個值都是復數，那么則用Cn表示n維空間。

例如：
R2=all 2?dim real vector=x-y plane

Here are three vector spaces other than Rn:
M - The vector space of all real 2 by 2 matrices.
F - The vector space of all real functions f(x).
Z - The vector space that consists only of a zero vector.

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2.子空間
Definition:A subspace of a vector space is a set of vectors (including 0) that satisfies two requirements: If v and w are vectors in the subspace and c is any scalar, then
(i) v+w is in the subspace;
(ii) cv is in the subspace;

The whole space is a subspace (of itself) including：
(1)The whole space.
(2)Every subspace contains the zero vecor;
(3)Lines through the origin are also subspaces;
(4)The single vector (0,0,0);

例如：
R3的子空間：
（直線L） Any line through (0,0,0)
（向量空間R3）The whole space
（平面P） Any plane through (0,0,0)
（零向量Z）The single vector (0,0,0)

子空間性質：屬于(inside)向量空間，且其對數乘、向量相加以及線性組合也是封閉的。

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3.列空間
Definition: The column space consists of all linear combinations f columns. The combinations are all possible vector Ax. They fill the column space C(A).

The system Ax=b is solvable if and only if b is in the column space of A. If Am?n is an m?n matrix, the columns belong to Rm, and the column space of A is a subspace of Rm.

S=set?of?vectors?in?V
SS=all?combinations?of?vectors?in?S
The subspace SS is the ‘span’ of S, containing all combinations of vectors in S.

舉例：

A=?????123411112345?????
A的列空間是R4的子空間。
Ax=?????123411112345????????x1x2x3???=?????b1b2b3b4?????
什么情況 b使方程有解呢？
》》結論：有解情況，當b屬于 A的列空間時（成為各列線性組合結果時），可求出組合系數x;否則無解。

深入分析： A的列空間屬于Rm的子空間。觀察各列看是否線性相關。直接的做法就是對A求上三角矩陣U,如果主元的個數與列數n相等，則說明A的各列線性無關。三個位于四維空間的向量，其線性組合應該四維空間的子空間（是過原點(0,0,0,0)的平面或直線）。方程組是否有解取決于b這個向量是否恰好位于平面或直線上。

備注：之前在PartI中向量線性組合時（vector combination）提及組合后向量在空間所占位置。
1）對于一個向量u，線性組合cu是一條線；
2）對于兩個向量u和w，線性組合cu+dv張滿一個平面；
3）對于三個向量u,v和w,線性組合cu+dv+ew填滿一個三維空間。

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4.零空間
The NULL space of A: solving Ax=0
The null space of A consists of all solutions to Ax=0. These vectors x are in Rn. The null space containing all solutions of Ax=0 isdenoted by N(A).

Special solutions
The nummspace consits of all combinations of the special solutions.
整個解的過程： 把A變成U(上三角矩陣)，再變成R(its reduced form R).
1)Produce zeros above the pivots, by eliminating upward;
2)Produce ones in the pivots, by dividing the whole row by its pivot.

Ax=0,

A=?????123411112345????? 其零空間為在 R3中的線。幾個特殊的解其線性組合為一條線，然后其線性組合就構成了方程的解（矩陣 A的零空間）。

例子：
A=???1232462682810???
解： Ax=0—-> Ux=0
A??>???100200222244?????>???100200220240???=U

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5.矩陣的秩
秩：矩陣中主元的個數，為矩陣的秩。（number of pivots）
如上例，A的秩為2.當(x2,x4)=(0,1)及(x2,x4)=(1,0)所得的解為特解

x=??????2100?????及??????20?21?????
其也是 零空間基（basis）。
解 X(A的零空間)：特解的線性組合
零空間矩陣，將所有特解作為列的矩陣。

啰嗦下主變量（Pivot variables）
用r表示主變量的個數，r個主變量，表示整個方程組中只有r個方程起了作用。
對于Am?n,零空間中考慮的是數量n.
r=2,主變量的數量
n?r=4?2.自由變量的數量
自由變量，故名思議，可以任意取值，取值后的特解的線性組合即為方程組的解（矩陣的零空間）。一般取得是（0或1）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量空间，子空间，列空间，零空间（PartIII）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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