前言

在做SLAM研究的時候，會涉及到對旋轉(zhuǎn)矩陣求導(dǎo)的問題。這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉(zhuǎn)或者變換等矩陣李群形式，映射到李代數(shù)上求解。本文主要涉及兩個特殊矩陣李群：特殊正交群（special orthogonal group）SO(3)，表示旋轉(zhuǎn)；特殊歐幾里得群（special Euclidean group）SE(3)，表示位姿。

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1 群的定義

群（Group）是一個集合加上一種運算所構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。該運算將兩個元素a和b組成另外一個元素，記為a·b或者ab。記集合為G，運算為· ，則當(dāng)滿足一下四個性質(zhì)的時候，稱(G, ?)為一個群。

（1）封閉性（closure）：任意a，b屬于G，有a·b仍然屬于G;

（2）結(jié)合性（associativity）：任意a，b，c屬于G，有(a·b)·c = a·(b·c);

（3）單位元（幺元）（identity）：存在a0屬于G，對任意b屬于G，均有a0·b = b·a0= b;

（4）逆元（invertibility）：任意a屬于G，存在a-1屬于G，使得a·a-1= a0?。

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2 特殊正交群和特殊歐幾里得群

特殊正交群：

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特殊歐幾里得群：

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李群：

?????李群是一個微分流形，群上的操作是光滑的。

?????矩陣李群的元素是矩陣，群上的運算是矩陣乘法，元素的逆即矩陣的逆。

?????SO(3)和SE(3)都是李群，但是只對乘法封閉，對加法不封閉，不適合做微分、求導(dǎo)運算。

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3 李代數(shù)

3.1 李代數(shù)定義

對于任意一個李群，都存在一個李代數(shù)與之對應(yīng)。李代數(shù)是一種位于向量空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)。李代數(shù)包含一個集合V，一個數(shù)域F和一個二元運算[ , ]。如果它們滿足一下四條性質(zhì)（封閉性、雙線性、自反性、雅克比等價），就稱(V, F, [ , ]) 為一個李代數(shù)。

（1）封閉性（closure）：[X,?Y]屬于V,

（2）雙線性（bilinearity）：[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], [Z, aX+bY]= a[Z,X]+b[Z,Y],

（3）自反性（alternating）：[X,?X] =0,

（4）雅克比等價（Jacobi identity）：[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y]] +[Y, [Z,X]] =0

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3.2 李代數(shù)的引出過程

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3.3 ?旋轉(zhuǎn)和變換的李代數(shù)so(3)和se(3)

與SO(3)對應(yīng)的李代數(shù)是so(3)：

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與SE(3)對應(yīng)的李代數(shù)是se(3):

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4 指數(shù)映射和對數(shù)映射

4.1 指數(shù)映射

指數(shù)映射是從李代數(shù)映射到李群的一種方式。

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為了定義矩陣指數(shù)運算，需要用到泰勒展開式。

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令，關(guān)于有如下性質(zhì)：

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關(guān)于?進行泰勒展開：

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即羅德里格斯公式。這說明so(3)的物理意義就是旋轉(zhuǎn)向量。

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對于se(3)和SE(3)，也能得到類似的指數(shù)映射關(guān)系。

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4.2 對數(shù)映射

同理，給定旋轉(zhuǎn)矩陣（李群元素），也能求出對應(yīng)的李代數(shù)。

實際中可以采用下面的公式來求解。

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小結(jié)

本文的內(nèi)容參考了《state estimation for robotics》，以及高博（半閑居士）的SLAM公開課，如有錯誤，敬請指正。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的视觉SLAM中的李群李代数基础的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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