從這篇開始講講光滑微分流形。

7.1 拓撲流形

第一次學到流形是在尤承業(yè)的基礎(chǔ)拓撲學講義中的拓撲流形，也就是具有Hausdorff性質(zhì)的拓撲，而且$\text{每一點都有一個同胚于歐氏空間}{\mathbb{R}}^n\text{的開鄰域}$，并且這個流形的維數(shù)順勢定義為$n$.
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下面關(guān)于流形維數(shù)的定義啰嗦幾句：
這里的定義，只要認同了（或者已經(jīng)學過同調(diào)群）${\mathbb{R}}^m$與${\mathbb{R}}^n$，當$m=n$時，不同胚，那流形維數(shù)的定義是沒有問題的。

但仔細想一想，要是用“$\text{每一點都有一個同胚于歐氏空間的開領(lǐng)域}$”，這里便需要驗證維數(shù)的良定義，也就是：是否存在某一點，它既有一個鄰域同胚與${\mathbb{R}}^m$又同胚于${\mathbb{R}}^n$，且$m=n$呢？如果是，情況就會相當糟糕，因為流形的維數(shù)定義就會出問題。好在這種情況不會出現(xiàn)，齊震宇老師的課程中開始就提到了，Invariance of domain theorem 確保了我們可以良定義流形的維數(shù)。
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以前學點集拓撲學完之后還不知道在干嘛，現(xiàn)在微分流形是用到挺多拓撲的，大概才意識到拓撲之所以是top，是因為它從開集這個已經(jīng)簡單到不行的結(jié)構(gòu)出發(fā)去看我們能得到什么性質(zhì)。

一般我們考慮的拓撲往往不會太糟糕，往往不止假設(shè)Hausdorff, 還假設(shè)是第二可數(shù)的，Hausdorff保證流形中的開集不會“粘”在一起分不開，從而序列的極限是唯一的。

當然我們也有拓撲流形的例子，分別不是第二可數(shù)（不可數(shù)個歐氏空間的無交并），或者不是Hausdorff的（取平面中的兩條直線$y=\pm 1$，$M$為商空間：當$x=0$時，$(x,1)～(x,?1)$，從而$(0,?1),(0,1)$不存在不相交的開鄰域）。

要理解第二可數(shù)得先理解拓撲基，拓撲基是用來生成拓撲的，比方說度量空間中的有理數(shù)中心，有理數(shù)半徑的開球，可數(shù)的拓撲基可以理解為對開集有一個可數(shù)的“分解”或者“近似”，可以參見這個回答：
https://math.stackexchange.com/questions/2131530/why-is-important-for-a-manifold-to-have-countable-basis
最近要用到的應(yīng)該是單位分解定理的證明，到時候會說明 局部緊致+$C_2$+Hausdorff 可以推出仿緊。
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這樣就可以給出一個拓撲流形的定義：

Definition 7.1.1 拓撲流形(Topological manifold)
$M$是一個拓撲空間，如果還滿足：
(1) $M$作為拓撲空間是Hausdorff的；
(2) $M$是第二可數(shù)的；
(3) $M$局部同胚于$n$維歐氏空間：對流形上任意一點，存在鄰域，同胚于${\mathbb{R}}^n$中的某個開集。

最簡單的例子當然是歐氏空間 ${\mathbb{R}}^n$ 自身就是一個n維拓撲流形；再比如說一維圓周 $S^1$，可以先去掉北極點，剩下的開區(qū)間有一個到 ${\mathbb{R}}^1$ 的同胚，再去掉南極點，也有一個到 ${\mathbb{R}}^1$ 的同胚，根據(jù)定義 $S^1$ 是一個一維拓撲流形；再比如 $S^n$ ；有限維線性空間； 更進一步一般線性群$GL(n,\mathbb{R})$，都是拓撲流形。
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7.2 微分流形

動機是一件很重要的事，所謂拓撲，是討論在連續(xù)的意義下不變的性質(zhì)，要是我們不滿足于此，比如之前歐氏空間中的曲率，都是需要微分運算的，那還想在流形上進行微積分，就得先引入微分的概念，我們熟悉的只有歐氏空間的微積分，所以得想辦法把歐氏空間的微分結(jié)構(gòu)抽象出來，賦給拓撲流形。

根據(jù)拓撲流形的定義(3)，我們可以在拓撲流形$M$上取個集合，連同這個集合上規(guī)定的同胚映射湊成一對，用 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ 的形式表示，這就是一個坐標卡(cooridinate chart)，因為拓撲流形的每一點都包含在一個鄰域 $U_{\alpha }$ 中，所以每個點都包含在至少一個這樣的坐標卡中。

我們想說一個定義在流形上的函數(shù)是光滑的，可以通過已經(jīng)有的流形上到歐氏空間的同胚${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\mathbb{R}}^n$，以及復(fù)合映射$f°{\phi }_{\alpha }^{?1}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 來定義流形上的可微：我們稱 $f:M\to \mathbb{R}$ 光滑當且僅當$f°{\phi }_{\alpha }^{?1}$光滑。

既然我們的目的是說 $f$ 光滑，那么應(yīng)該對于復(fù)合怎么樣的 $\phi$ 是無關(guān)的，這就對 $\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$ 這個集合本身有一定的要求：我們說兩個坐標卡$(U,\phi ),(V,\psi )$是 相容的 ，確切的說在這里是微分相容的，是指要么$U\cap V=?$， 要么 $M$ 上的既屬于$(U,\phi )$ 又屬于 $(V,\psi )$ 的公共部分，有一個轉(zhuǎn)移函數(shù)，定義為：$\psi °{\phi }^{?1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$ 是一個微分同胚。
之所以要這樣定義，最本質(zhì)的點在于流形是局部定義的，我們只能在一個小開集上討論可微性，要想超出這個小開集的范圍，得先轉(zhuǎn)移到與別的開集相交的部分。

什么樣的相容條件，就決定了什么樣的微分流形，比如要是 $\psi °{\phi }^{?1}$ 及它的逆都是$C^k$的，那么我們可以類似的定義$C^k?$微分流形。在這里討論的所有坐標卡相容，都是光滑相容。
兩兩相容的一族坐標卡 $\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$并且${?}_{\alpha \in \lambda }{U}_{\alpha }=M$，就稱為一個地圖冊，圖冊或者坐標卡集(atlas)，要是所有互相相容的坐標卡，都已經(jīng)放在了同一個地圖冊里，稱這樣的地圖冊是極大地圖冊(maximal atlas)。

那么這樣，我們就可以定義本篇最重要的概念了：

Definition 7.2.1 微分結(jié)構(gòu) (Differential structure)
一個極大地圖冊，就是定義在$n$-維拓撲流形上的微分結(jié)構(gòu)。

我覺得入門微分流形的第一個重要的地方就是理解什么是微分結(jié)構(gòu)。他定義前提是在拓撲流形上，包含了坐標卡，相容性條件（轉(zhuǎn)移函數(shù)），極大地圖冊。

那么當然會有問題了，我要驗證一個拓撲流形是微分流形，就需要給出微分結(jié)構(gòu)，也就是極大地圖冊，而極大地圖冊中可以有很多坐標卡，可數(shù)個，不可數(shù)個都有可能，我不可能寫的出來。好在有定理保證了，只要給出了一個地圖冊，也就是定義域覆蓋住了$M$，且其中的坐標卡兩兩相容，那么這個地圖冊就唯一的包含在一個極大地圖冊中，從而使拓撲流形$M$成為微分流形：

Lemma 7.2.2
(1) 每一個地圖冊唯一的包含在一個極大地圖冊中；
(2) 兩個地圖冊，都被包含在同一個極大地圖冊中當且僅當這兩個地圖冊是相容的。

證明思路：
(1) 現(xiàn)在已經(jīng)有一個地圖冊$\mathcal{A}$，我們這樣給出一個新的集合：$\overline{\mathcal{A}}$是所有與$\mathcal{A}$相容的坐標卡的集合。
接著首先說明$\overline{\mathcal{A}}$就是一個地圖冊：其中任意給定的兩個坐標卡，都和$\mathcal{A}$中的任意一個坐標卡相容，通過$\mathcal{A}$中的坐標卡作為橋梁，即可說明相容性。
極大性從構(gòu)造中就可以看出。
唯一性是因為假設(shè)還有極大地圖冊，必然包含于$\overline{\mathcal{A}}$，反過來$\overline{\mathcal{A}}$也包含于極大地圖冊中，所以唯一。

(2) 充分性：這兩個地圖冊相容，從而可以合并成一個新地圖冊，由(1)知他們包含在同一個極大地圖冊中。
必要性：極大地圖冊中坐標卡兩兩相容，從而原本的兩個地圖冊相容。

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有了這個定理保證，在驗證微分結(jié)構(gòu)的時候就方便了很多。

比方說我們就可以驗證，之前在拓撲流形中舉的幾個例子${\mathbb{R}}^n$，$S^n$，有限維線性空間，$GL(n,\mathbb{R})$，都可以給出相容的坐標卡，從而他們也是光滑流形。

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綜上，我們要證明一個空間 $M$ 是微分流形，首先要說明他是一個拓撲流形，這就意味著要先給出 $M$ 上的拓撲，驗證其是一個拓撲流形之后再給出一個覆蓋住 $M$ 的地圖冊，從而有了微分結(jié)構(gòu)。

事實上，$M$上的拓撲是由地圖冊唯一決定的，我們可以把歐氏空間的拓撲局部的賦予到流形上，這樣就避免了在 $M$ 上重新定義拓撲。
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Theorem 7.2.3 從集合到光滑流形
給定集合 $M$ 的一個覆蓋 $\{U_{\alpha }\}$，且在每個$U_{\alpha }$上有一個單射 ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\mathbb{R}}^n$，并且滿足下列條件：
(1) $?\alpha$，${\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })$是${\mathbb{R}}^n$中開集；
(2) $?\alpha ,\beta$，${\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),{\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$也都是${\mathbb{R}}^n$中開集；

(3) 當$U_{\alpha }\cap U_{\beta }=?$時，${\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}:{\phi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\phi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$是光滑的；

(4) 存在可數(shù)多個 $U_{\alpha }$覆蓋住 $M$；
(5) 對$M$上不同的兩點$p,q$，他們要不包含在同一個$U_{\alpha }$中，要不分別包含在不相交的兩個集合$U_{\alpha },U_{\beta }$中。

這樣$M$是一個光滑流形，并且有唯一的拓撲和微分結(jié)構(gòu)$\{U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\}$.

證明思路：
這個定理的條件很多，但其實各司其職(1)(2)(3)讓我們可以對$M$定義拓撲，并且(3)保證了坐標卡的相容性，從而有唯一微分結(jié)構(gòu)，(4)保證第二可數(shù)性，(5)保證Hausdorff.

先在$M$上定義拓撲：
記${\tilde{U}}_{\alpha }={\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })?{\mathbb{R}}^n$，從而${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\tilde{U}}_{\alpha }$是雙射，取$?V?{\tilde{U}}_{\alpha }$是開集，定義${\phi }_{\alpha }^{?1}(V)$是$M$中開集。接著證明在(1)(2)(3)條件下，像${\phi }_{\alpha }^{?1}(V)$這樣的集合構(gòu)成了$M$的拓撲基，從而有了在$M$上的拓撲：
記$W$為${\tilde{U}}_{\beta }$中開集，那么可以知道${\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}(W)$為${\tilde{U}}_{\alpha }$中的開集，從而$?p\in {\phi }_{\alpha }^{?1}(V)\cap {\phi }_{\beta }^{?1}(W)$，$p\in {\phi }_{\alpha }^{?1}(V\cap {\phi }_{\alpha }°{\phi }_{\beta }^{?1}(W))={\phi }_{\alpha }^{?1}(V)\cap {\phi }_{\beta }^{?1}(W)$，這樣就證明了把歐氏空間中的開集通過 $\phi$ 逆回去確實成為了$M$上的拓撲基。

第二可數(shù)是因為可數(shù)個$U_{\alpha }$，每個同胚于歐氏空間，從而有可數(shù)拓撲基，逆回到$M$上，總共的拓撲基依舊是可數(shù)的；Hausdorff是顯然的。

這個拓撲的唯一性：首先由于$\phi$是單射和(1)就意味著$M$上的拓撲不能比我們定義的拓撲更細，否則映到歐式空間就不是開集了。其次要保證$\phi$的連續(xù)性，$M$上的拓撲必然包含我們定義的拓撲，同時不能比我們定義的更粗了。
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在Nigel Hitchin的講義中類似通過坐標卡定義了$M$上的拓撲：條件和定理中的條件是一樣的，定義$V?M$是開集，當且僅當$?\alpha ,{\phi }_{\alpha }(V\cap U_{\alpha })$是${\mathbb{R}}^n$中開集。這與我們定義的拓撲是等價的。

總而言之，流形的本質(zhì)是他不像歐氏空間是平直的，流形是一個扭曲的空間，我們有的只是局部性質(zhì)。

參考：
[1]John M. Lee. ?Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218. Springer-Verlag, New York, 2000.
[2]N. Hitchin. ? DIFFERENTIABLE MANIFOLDS Course C3.1b 2012 .
[3]廈門大學宋翀老師講義.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微分几何笔记(7) —— 光滑微分流形的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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