盘点数学里十大不需语言的证明
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當(dāng)談到復(fù)雜數(shù)學(xué)定理的證明時，很多人常常為之色變，認(rèn)為這只是一個枯燥的公式堆砌和深奧的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。這當(dāng)然是一個讓筆者感到糾結(jié)的誤解。因為數(shù)學(xué)證明中包含的美麗與精巧實在是一道亮麗的風(fēng)景線，而這種亮麗甚至不需要用語言來描述。所以我在這里盤點了數(shù)學(xué)里十大不需要語言的證明（proofs without words）。讓讀者在領(lǐng)略數(shù)學(xué)所包含的無與倫比的精巧之外，更從此愛上數(shù)學(xué)。
0. 勾股定理
這個大家小學(xué)就學(xué)過的古老定理，有著無數(shù)傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達(dá)哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這里給出一個不需要語言的證明方法。
實際上勾股定理是余弦定理的一種特殊情況，而余弦定理的證明，同樣可以不用語言。
1. 關(guān)于反正切的恒等式
關(guān)于反正切，有如下兩個很精彩的等式：
它們的證明方法也同樣精彩。
2. 幾何平均值小于算術(shù)平均值
這是不等式中最重要和基礎(chǔ)的等式：
它也可以通過圖形來證明。
注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕松地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。
3. 1+3+5+…+（2n-1）= n?2
這是奇數(shù)的求和公式，下圖是當(dāng)n=8時的情形
4. 平方數(shù)的求和公式
一個很漂亮的公式，證明的過程令人眼前一亮。
5. 立方數(shù)的求和公式
立方數(shù)的求和證明與平方數(shù)的求和證明方法有些相像：
6. 斐波那契數(shù)列的恒等式
可謂家喻戶曉的斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和，即 F n+1 = F n + F n-1。
它的通項公式是
有趣的是，這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。
而且當(dāng)n無窮大時， F n-1 / F n 越來越逼近黃金分割數(shù)0.618。正因為它的種種神奇性質(zhì)，美國數(shù)學(xué)會甚至從1960年代起出版了《斐波納契數(shù)列》季刊。關(guān)于斐波那契數(shù)列，有一個恒等式是這樣的。
這個等式很漂亮，不需要借助復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，它有一個很直觀的證明方法。
7. 結(jié)果為1/3的一組分子式
下面是一組分子式，他們的結(jié)果都等于1/3?：
讓我們用若干個小球看待這個公式。
8. 最受數(shù)學(xué)家喜愛的無字證明
1989 年的《美國數(shù)學(xué)月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數(shù)學(xué)問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現(xiàn)在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當(dāng)你擺滿整個棋盤后，你所使用的每種菱形數(shù)量一定相同。
《美國數(shù)學(xué)月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形涂上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側(cè)、右側(cè)、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數(shù)目顯然應(yīng)該相等。
它把一個純組合數(shù)學(xué)問題和立體空間圖形結(jié)合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數(shù)學(xué)家們的喜愛。死理性派曾經(jīng)討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。
9. 棋盤上的數(shù)學(xué)證明
在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？
答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應(yīng)該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。
但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那么剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,并且關(guān)于這個結(jié)論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續(xù)往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結(jié)論。
上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉(zhuǎn)變?yōu)橐粭l首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數(shù)量都是偶數(shù)，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。
這個著名的棋盤問題是數(shù)學(xué)游戲大師馬丁?加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數(shù)學(xué)家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們后來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數(shù)學(xué)娛樂》這本書里。
轉(zhuǎn)載來源：數(shù)學(xué)與人工智能
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總結(jié)
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