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青少年數(shù)學(xué)之旅

最近，一條新聞引起了超模君的注意：“三體問題”或有解了！

這個(gè)蔑視了人類300多年的老頑固，真的要被徹底解決了嗎？

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三體問題到底是什么？

三體問題是說：三個(gè)質(zhì)量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質(zhì)點(diǎn)的天體，在相互之間萬有引力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問題。

三體問題的真正解決，是建立一種數(shù)學(xué)模型，使得在已知任何一個(gè)時(shí)間斷面的初始運(yùn)動(dòng)矢量時(shí)，能夠精確預(yù)測三體系統(tǒng)以后的所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖源自微信公眾號(hào) QbitAI

一臉茫然？讓超模君簡單描述下：兩個(gè)人談戀愛的狀態(tài)下，他們會(huì)十分恩愛并且還可能每天喂你狗糧。

但是如果是三個(gè)人談戀愛呢？（啊喂這不是瓊瑤劇!）

這可比兩個(gè)人談戀愛的情況復(fù)雜太多了！

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其實(shí)從形式上來看，求解三體問題所需的運(yùn)動(dòng)方程也是比較簡單的：

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不過大家也別白費(fèi)力氣了！

數(shù)學(xué)大佬龐加萊早就證明：三體問題無解！是說這個(gè)方程組不存在解析解，只有數(shù)值解。

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三體問題要怎么解決？

既然沒有解析解，數(shù)學(xué)家們開始轉(zhuǎn)換思路，尋找特定條件下的解。

與數(shù)學(xué)家們不同的是，計(jì)算機(jī)科學(xué)家采取了另一種思路，即通過近似和數(shù)值技術(shù)來模擬三個(gè)天體的運(yùn)行軌跡。

事實(shí)上，這一計(jì)算過程實(shí)施起來也非常簡單：

既然已經(jīng)知道三個(gè)天體的初始位置，每個(gè)天體所受的萬有引力便可以輕松得到，從而可以得到每個(gè)天體的加速度，進(jìn)而推出其速度以及位置的變化，如此循環(huán)往復(fù)，得到天體隨時(shí)間的運(yùn)行軌跡可以說是易如反掌。

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十分尷尬的是，我們不可能絕對(duì)準(zhǔn)確地測量三個(gè)天體的初始位置和速度，而且計(jì)算機(jī)能夠存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)大小也是有限的，因此這些數(shù)據(jù)總會(huì)與真實(shí)狀態(tài)存在些許誤差。

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不過，這個(gè)問題也在今年10月得到了優(yōu)化：來自愛丁堡大學(xué)、劍橋大學(xué)等高校的數(shù)學(xué)大佬們，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來求解三體問題，速度比之前的求解器快一億倍，而且誤差只有十萬分之一。

他們利用Brutus模擬求解了10000次它們的三體運(yùn)動(dòng)，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，他們使用其中的9900次模擬作為訓(xùn)練集，100次模擬作為訓(xùn)練集。

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牛頓與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

大佬們?cè)谟?xùn)練過程中采用了Adam優(yōu)化器，每個(gè)epoch分為5000個(gè)batch，激活函數(shù)使用了ReLU，其中實(shí)線代表訓(xùn)練集，虛線代表驗(yàn)證集，3.9、7.8和10分別代表了使用的數(shù)據(jù)量的大小，特別的，10代表使用了全部10天生成的數(shù)據(jù)，即全部數(shù)據(jù)集。

我們能夠清楚看到訓(xùn)練過程中平均絕對(duì)誤差隨epoch變化情況：

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之后，他們將訓(xùn)練好的模型和Brutus的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)代表經(jīng)過訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)令人滿意地再現(xiàn)了粒子之間的相互作用，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算時(shí)間比Brutus快了十萬倍，有時(shí)候甚至是一億倍！

左半邊為訓(xùn)練集上的對(duì)比，右半邊為驗(yàn)證集上的對(duì)比，三種顏色的曲線代表三個(gè)例子的運(yùn)動(dòng)軌跡：

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這個(gè)結(jié)果驗(yàn)證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在混沌系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用，能夠更快的速度完成傳統(tǒng)的方法的仿真工作。

但是！這個(gè)實(shí)驗(yàn)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型局限在維平面內(nèi)，并且得保證是初速度為0的三體問題。

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最新研究成果

那么，在12月被媒體宣稱“或有解了”的最新研究成果，真的能徹底解決“三體問題”嗎？

“來自以色列希伯來大學(xué)天體物理學(xué)家尼古拉斯·斯通博士領(lǐng)導(dǎo)的國際團(tuán)隊(duì)稱，他們在解決這一難題方面邁出了一大步。”

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天體物理學(xué)家Nicholas Stone

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聽到?jīng)]有！邁出了一大步！

就是說我們有進(jìn)步，但是還沒有真正解決。

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斯通團(tuán)隊(duì)的研究結(jié)果是：不穩(wěn)定的三體系統(tǒng)最終會(huì)踢出一個(gè)，剩下兩個(gè)會(huì)形成穩(wěn)定二元關(guān)系，可利用傳統(tǒng)方法預(yù)測其運(yùn)動(dòng)。

你可以這樣理解：三個(gè)人的三角戀愛關(guān)系最終會(huì)有一人被拋棄，剩下的兩人繼續(xù)談戀愛。

這么一看好像是有點(diǎn)道理.....

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也就是說，他們基于過去幾百年的天文發(fā)現(xiàn)、現(xiàn)代理論參考和團(tuán)隊(duì)積累的研究成果分析，得出了一條解決三體問題的新思路。

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我們可以看到，他們進(jìn)行了對(duì)數(shù)據(jù)的保守預(yù)測、相互作用力、會(huì)聚等多種情況的對(duì)比分析：

斯通團(tuán)隊(duì)暫且避開龐加萊說的“最后啥也不是”的結(jié)果，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法預(yù)測行星的運(yùn)動(dòng)并公布了完整的解決方案：

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整體來看，斯通團(tuán)隊(duì)的發(fā)現(xiàn)還是在“無解”的基礎(chǔ)之上，不執(zhí)著于三體問題的嚴(yán)格解，轉(zhuǎn)而研究同樣具有意義的統(tǒng)計(jì)解。

他們將預(yù)測結(jié)果與計(jì)算機(jī)生成的實(shí)際運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)預(yù)測值非常準(zhǔn)確：

?數(shù)值結(jié)果/Numerical Conclusions

(Samsing & llan 17)

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這次的研究還是充滿了不確定性，斯通團(tuán)隊(duì)模擬了三個(gè)彼此繞行的黑洞的情況，當(dāng)三個(gè)黑洞在一起，其軌道必然變得不穩(wěn)定。

但即便其中一個(gè)黑洞被踢出去，他們也覺得剩下兩個(gè)黑洞間的關(guān)系非常有研究價(jià)值。

說到底，“三體問題”還是沒有被真正解決~

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為什么要解決三體問題？

說了這么多，超模君聽到了你們的靈魂發(fā)問：“研究三體問題到底有什么意義？”

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三百多年來，無數(shù)科學(xué)大佬投身研究三體問題，研究的歷史過程中，誕生了大量新的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)工具，并使得當(dāng)代航天技術(shù)取得蓬勃的發(fā)展。

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我們吃飯睡覺雖然用不到三體問題，可是我們生活中用的GPS定位等科技都需要衛(wèi)星的各項(xiàng)功能，而確定發(fā)射衛(wèi)星的軌道是科學(xué)家必須考慮和需要解決的問題。

通過不斷研究和學(xué)習(xí)三體問題，科學(xué)家能將衛(wèi)星送上太空，為人類服務(wù)。

在深遠(yuǎn)意義上來講，三體問題是人類向太空進(jìn)軍的首要難題。

正是因?yàn)樘y了！研究進(jìn)展非常緩慢，以至于三體問題幾乎成了檢驗(yàn)人類智力發(fā)展程度的一塊標(biāo)志性的試金石。

我們天性中的好奇心以及永不服輸?shù)木?#xff0c;仍然在鼓勵(lì)著后來的年輕科學(xué)家，前赴后繼地追逐著三體問題的答案！

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作者簡介：超模君，數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)教育自媒體博主。愛分享有用的數(shù)學(xué)建模知識(shí)，愛深挖有趣的交叉科學(xué)人物故事，愛為靠譜的現(xiàn)代教育產(chǎn)品打call。著有《芥子須彌·大科學(xué)家的小故事》，由清華大學(xué)出版社2019年出版。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的这道题号称无人能解！300多年来无一人答对，却让这群人这么简单就解出来了？...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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