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【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法

發布時間：2023/12/4 综合教程 31 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

轉自beyond the void 的博客：

https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan

注：紅色為標注部分

[有向圖強連通分量]

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。

下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

直接根據定義，用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間復雜度為O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，兩者的時間復雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。

定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，

Low(u)=Min
{DFN(u),Low(v),(u,v)為樹枝邊，u為v的父節點DFN(v),(u,v)為指向棧中節點的后向邊(非橫叉邊)
}

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

?如果一個節點u已經DFS訪問結束，而且此時其low值等于dfn值，則說明u可達的所有節點，都不能到達任何在u之前被DFS訪問的節點 ---- 那么該節點u就是一個強連通分量在DFS搜索樹中的根。

算法偽代碼如下

tarjan(u)
{DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 為節點u設定次序編號和Low初值Stack.push(u)                              // 將節點u壓入棧中for each (u, v) in E                       // 枚舉每一條邊if (v is not visted)               // 如果節點v未被訪問過tarjan(v)                  // 繼續向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S)                   // 如果節點v還在棧內Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果節點u是強連通分量的根
        repeatv = S.pop                  // 將v退棧，為該強連通分量中一個頂點
            print vuntil (u== v)
}

接下來是對算法流程的演示。

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有后向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最后訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間復雜度為O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的算法，為Kosaraju算法。Kosaraju是基于對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間復雜度也是O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實際的測試中，Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯系。學習該Tarjan算法，也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。

求有向圖的強連通分量的Tarjan算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明了求雙連通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan算法，在此對Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

void tarjan(int i)
{int j;DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;instack[i]=true;Stap[++Stop]=i;for (edge *e=V[i];e;e=e->next){j=e->t;if (!DFN[j]){tarjan(j);if (LOW[j]<LOW[i])LOW[i]=LOW[j];}else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])LOW[i]=DFN[j];}if (DFN[i]==LOW[i]){Bcnt++;do{j=Stap[Stop--];instack[j]=false;Belong[j]=Bcnt;}while (j!=i);}
}
void solve()
{int i;Stop=Bcnt=Dindex=0;memset(DFN,0,sizeof(DFN));for (i=1;i<=N;i++)if (!DFN[i])tarjan(i);
}

[參考資料]

Wikipedia
Amber的圖論總結

BYVoid 原創作品，轉載請注明。

?思想： http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5402414.html

?做一遍DFS，用dfn[i]表示編號為i的節點在DFS過程中的訪問序號(也可以叫做開始時間）用low[i]表示i節點DFS過程中i的下方節點所能到達的開始時間最早的節點的開始時間。（也就是之后的深搜所能到達的最小開始時間）初始時dfn[i]=low[i]

?在DFS過程中會形成一搜索樹。在搜索樹上越先遍歷到的節點，顯然dfn的值就越小。

?DFS過程中，碰到哪個節點，就將哪個節點入棧。棧中節點只有在其所屬的強連通分量已經全部求出時，才會出棧。

?（對于一個強連通分量和一個指出去的有向邊，在輸出這個強連通分量的時候，那條指出去的邊的終點已經作為一個強連通分量統計，并且出棧了。）

?如果發現某節點u有邊連到搜索樹（棧）中棧里的節點v，則更新u的low 值為dfn[v](更新為low[v]也可以，更新為low可以算是壓縮路徑，速度略快）。

另外附一篇資料，寫的也很好：

處理SCC(強連通分量問題)的Tarjan算法

---Comzyh

https://comzyh.com/blog/archives/517/

在有向圖G中,如果兩個頂點間至少存在一條路徑,稱兩個頂點強連通(strongly connected),如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖.

如圖所示,藍色框圈起來的是一個強連通分量

通俗的說法是:從圖G內任意一個點出發,存在通向圖G內任意一點的的一條路徑.

非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components,SCC).

求圖強連通分量的意義是:由于強連通分量內部的節點性質相同,可以將一個強連通分量內的節點縮成一個點,即消除了環,這樣,原圖就變成了一個有向無環圖(directed acyclic graph,DAG).顯然對于一個無向圖,求強連通分量沒有什么意義,聯通即為強連通.

求強連通分量比較高效的算法是SCC Tarjan算法,BYV牛有一個很好的說明,推薦大家看一看:有向圖強連通分量的Tarjan算法? Beyond the Void,我在這里就不照搬了.

Tarjan 算法基本基于DFS,時間復雜度就是遍歷圖一遍,為Θ(N),Tarjan 貌似很喜歡深搜的樣子,LCA被深搜活生生的弄成了Θ(N),SCC 看來一樣,Tarjan 一出現,時間復雜度果然降了一個數量級.

先看BYV牛的CODE,寫的真不錯,雖然第一遍我沒看懂,不過相信加了注釋后會好理解多,如果有錯誤,別打我.

void tarjan(int i)//Tarjan 
{int j;DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;//Index 時間戳 instack[i]=true;//標記入棧 Stap[++Stop]=i;//入棧 for (edge *e=V[i];e;e=e->next)//枚舉所有相連邊 
    {j=e->t;//臨時變量 if (!DFN[j])//j沒有被搜索過 
        {tarjan(j);//遞歸搜索j if (LOW[j]<LOW[i])//回溯中發現j找到了更老的時間戳 LOW[i]=LOW[j];//更新能達到老時間戳 
        }else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])//如果已經印有時間戳 且 時間戳比較小,則有環 LOW[i]=DFN[j];//當前記錄可追溯時間戳更新 
    }if (DFN[i]==LOW[i])//可追溯最老是自己,表明自己是當前強連通分量的棧底 
    {Bcnt++;//強連通分量數增加 do{j=Stap[Stop--];//出棧頂元素 instack[j]=false;//標記出棧 Belong[j]=Bcnt;//記錄j所在的強連通分量編號 
        }while (j!=i);//如果是當前元素,彈棧完成 
    }
}
void solve()
{int i;Stop=Bcnt=Dindex=0;memset(DFN,0,sizeof(DFN));//標記為為搜索過 for (i=1;i<=N;i++)if (!DFN[i])tarjan(i);
}

SCC Tarjan算法的基本框架:

遍歷一個點,指定一個唯一時間戳DFN[i];指定該點向前追溯可追溯到的最老時間戳LOW[i].
枚舉當前點所有邊,若DFN[j]=0表明未被搜索過,遞歸搜索之.
若DFN[j]不為0,則j被搜索過,這時判斷j是否在棧中,且j的時間戳DFN[j]小于當前時間戳DFN[i],可判定成環.將LOW[i]設定為DFN[j]
若這個點LOW[i]和DFN[i]相等,說明這個節點是所有強連通分量的元素中在棧中最早的節點.
彈棧,將這個強連通分量全部彈出,縮成點.

這里解釋下比較晦澀的兩個詞:

LOW[i],這個向前追溯可追溯到的最老時間戳的意思是根據有向圖的方向遍歷,在有環的情況下,向前追溯可以達到較早的點.在每次遞歸調用Tarjan(j)后我們可以高速較快的更新LOW[i]

至于所有強連通分量的元素中在棧中最早的節點.是這樣的,所有自成強連通分量的節點或子圖,在本次彈棧前都已經彈出去了,這時棧里所元素的LOW都大于等于DFN[該強連通分量的最早遍歷節點],棧頂元素一定比下面元素的時間戳要大

在遍歷完所有相關邊之后再驗證(DFN[i]==LOW[i]),可以避免有漏判情況,這時,當前節點的子節點已經將LOW更新的很優了,不存在一個強連通分量被包含在一個強連通分量里的情況.

學習SCC Tarjan算法有兩道測驗題:

POJ 2186 Popular Cows

POJ 1236 Network of Schools
參見Comzyh這兩道強連通分量的題解

原創文章，轉載請注明(最好把圖片帶走)： 轉載自Comzyh的博客

本文鏈接地址: 處理SCC(強連通分量問題)的Tarjan算法

轉載于:https://www.cnblogs.com/liuzhanshan/p/6517041.html

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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