寫在前面的話：

本講主要內(nèi)容講了連續(xù)性的定義，及其三個衍生的表述方式，函數(shù)的幾類間斷點。

最后一個例題回顧了極限的保號性，是不是又有點生疏了？沒關(guān)系，回過頭再看看。反復(fù)研讀，用心體會。

如果有錯誤的地方還請?zhí)岢鰜?#xff0c;我會及時糾正。大家一起學(xué)習(xí)吧~

一、函數(shù)的連續(xù)性：

• 函數(shù)連續(xù)定義：設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量 也趨近于零，即 ，則稱函數(shù) 在 點連續(xù)。

注：① 我們把

寫成 ，這樣 就可以寫成 ；

②根據(jù)極限差的運算法則（戳我了解），我們把

變換一下就可以得到 ，亦即 ,最終可得

③ 當

時， ，注釋②中的 又可以寫成

所以綜合以上①②③三個注解，得出如下三個等價的定義：

設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數(shù) 在 點連續(xù)；

設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數(shù) 在 點連續(xù)；

設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的增量 趨近于零時， ，則函數(shù) 在 點連續(xù)。

更多的情況下，我們一般使用第3個等價定義，我們用

語言來描述第3個等價定義：

設(shè)

在 的某鄰域內(nèi)有定義。如果對任意的 ，總存在正數(shù) ，使當 （相較極限定義中 ，少了左半邊大于 的部分，這樣保證了 可以取值為 ，即 存在）時，不等式 ，對比極限定義，有 ，再根據(jù)本文第3個等價定義，也就恰好證明了函數(shù) 在 點連續(xù)。

• 函數(shù)的單側(cè)連續(xù)概念：

如果函數(shù)

左極限 存在且等于 ，則稱 在 點左連續(xù)；如果右極限 存在且等于 ，則稱 于 點右連續(xù)。

注：①函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件是在該點處既左連續(xù)又右連續(xù)。

② 如果函數(shù)

在開區(qū)間 內(nèi)每一點連續(xù)，則稱 是開區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)，或稱 在開區(qū)間 上連續(xù)；函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，是指 在開區(qū)間 連續(xù)，且于左端點 右連續(xù)，右端點 左連續(xù)。關(guān)于左右端點連續(xù)的描述如下圖所示：

連續(xù)函數(shù)的例子：

（1）若

是多項式函數(shù)，我們前面證明過（戳我了解），對任意的 ，有 ，亦即多項式函數(shù)在任意一點處的極限值都等于該點處的函數(shù)值，故多項式函數(shù)于 內(nèi)連續(xù)。

（2）若

為有理函數(shù)，由前面的證明知（戳我了解），只要 ，便有 ，因此有理函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。

（3）函數(shù)

在 內(nèi)連續(xù)，下面給出證明：

證明：設(shè)

是區(qū)間 內(nèi)任意一點，當 有增量 時，對應(yīng)函數(shù)的增量 ，由三角函數(shù)和差化積公式（戳我了解）

我們在第七講重要極限1的證明過程中已經(jīng)利用單位圓解釋過（戳我了解），對于任意角度

,當 時有 ，所以 即有不等式 ，對此不等式使用夾逼準則（戳我了解）可知，當 時， ，根據(jù)函數(shù)連續(xù)定義知，函數(shù) 在 上是連續(xù)的。

（4）函數(shù)

在 上連續(xù)，證明過程與(3)中類似。

二、函數(shù)的間斷點

設(shè)函數(shù)

在 的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果 有下列三種情形之一：

1.在

處沒有定義；

2.雖然在

處有定義，但 不存在；

3.雖然在

處有定義，且 存在 ，但 ；

則函數(shù)

在 處不連續(xù)，稱 為 的間斷點。

注：實際上，以上三點本質(zhì)上就是破壞了函數(shù)連續(xù)定義中

的三種不同情況，破壞了這個等式肯定就不連續(xù)了，從而是間斷的了。

例1.正切函數(shù)

在 處沒有定義，所以破壞了等式 ，故 是 的間斷點。又 ，故稱 為 的無窮間斷點。

例2.函數(shù)

在點 處沒有定義，當 時， ，函數(shù)值在 和 之間變動無限多次，所以 稱為函數(shù) 的振蕩間斷點。

例3.函數(shù)

在點 ，沒有定義，所以函數(shù)在 不連續(xù)，但 ，如果補充點 ，則函數(shù)在 處就連續(xù)了，所以 為該函數(shù)的可去間斷點。

例4.函數(shù)

在 處有定義 ，又 ，所以 是 的間斷點。但如果改變 在 處的函數(shù)值： ，則 于 點處連續(xù)，所以 是 的可去間斷點。

例5.函數(shù)

在 處有定義， ，且 ，左右極限都存在但是不相等，故 是 的間斷點。因為 的圖形在 有跳躍現(xiàn)象，故稱 是 的跳躍間斷點。

以上我們討論了無窮間斷點、振蕩間斷點、可去間斷點和跳躍間斷點。那么我們通常把這些間斷點分為兩大類：

① 如果

是 的間斷點，左極限 與右極限 都存在（不一定相等），則稱 為第一類間斷點（可去間斷點、跳躍間斷點）。

②如果

左右極限有一個不存在或兩個都不存在，則稱 為第二類間斷點（無窮間斷點、振蕩間斷點）。

下面再補充一個例題：

例6：證明函數(shù)

在點 處連續(xù)且 ，則存在 的某鄰域 ，使當 時， 。

證明：由于

于 處連續(xù)，所以 ，由第七講中極限的保號性定理之定理1'（戳我了解），存在 的某去心鄰域 ，使當 時， ，故當 時， 。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的连续不等_第九讲 函数的连续性与函数的间断点的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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