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• 題意：
• 思路：

題意：

給你一棵樹，每棵樹初始權值都為$0$，現在給你兩個操作：

$(1)$將$u$的子樹權值全部加$1$。

$(2)$將$(u,v)$路徑上的點權值都加$1$。

每次輸出一個點$x$,滿足${\sum }_{y=1}^{N}a[y]?dis(x,y)$最小，如果多個點相同，輸出深度最小的點。

思路：

觀察這個式子，發現就是一個帶權重心的問題，如果不在重心顯然向重心走更優，需要支持修改。

這個題有一個結論：深度最小的帶權重心的子樹帶權和一定$>$總和的一半。

用反證法來證明，假設這個不滿足，即非這個子樹的權值和，一定$\ge$權值和的一半，顯然向其父親節點走之后，會使得減少至少一半的權值，加上不到一半的權值，會更優。

考慮如何找到這樣的一個點，顯然我們可與從頭$dfs$每個點，判斷是否合法，這個復雜度$O(n)$。

但是根據題面，我們顯然要打一個樹剖，這就跟$dfs$序扯上關系了，所以考慮能否將上面的問題轉換到$dfs$上，用線段樹來維護呢？

假設當前權值總和為$sum$，考慮在線段樹上二分一個前綴$\le \frac{sum}{2}+1$的最大位置，將$dfs$映射到點，假設為$pos$，此時滿足了什么呢？滿足$pos$子樹的權值總和$\le \frac{sum}{2}+1$，讓后我們再向上倍增找到答案即可。

寫完就過有被爽到。。

// Problem: I. Query On A Tree 17 // Contest: Codeforces - XXI Open Cup. Grand Prix of Korea // URL: https://codeforces.com/gym/102759/problem/I // Memory Limit: 1024 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math") //#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native") //#pragma GCC optimize(2) #include<cstdio> #include<iostream> #include<string> #include<cstring> #include<map> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<set> #include<queue> #include<algorithm> #include<sstream> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<random> #include<cassert> #define X first #define Y second #define L (u<<1) #define R (u<<1|1) #define pb push_back #define mk make_pair #define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1) #define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1) #define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1)) #define db puts("---") using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); } //void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); } //void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-6;int n; int dfn[N],se[N],fa[N][20],top[N],son[N],tot,depth[N]; int inv[N]; LL sum; vector<int>v[N]; struct Node {int l,r;LL sum,lazy; }tr[N<<2];void dfs1(int u,int f) {fa[u][0]=f; depth[u]=depth[f]+1; se[u]=1;for(int i=1;i<=18;i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];for(auto x:v[u]) {if(x==f) continue;dfs1(x,u);se[u]+=se[x];if(se[x]>se[son[u]]) son[u]=x;} }void dfs2(int u,int t) {top[u]=t; dfn[u]=++tot;inv[tot]=u;if(son[u]) dfs2(son[u],t);for(auto x:v[u]) {if(x==fa[u][0]||x==son[u]) continue;dfs2(x,x);} }void pushup(int u) {tr[u].sum=tr[L].sum+tr[R].sum; }void pushdown(int u) {LL lazy=tr[u].lazy; tr[u].lazy=0;tr[L].sum+=Len(L)*lazy; tr[L].lazy+=lazy;tr[R].sum+=Len(R)*lazy; tr[R].lazy+=lazy; }void build(int u,int l,int r) {tr[u]={l,r};if(l==r) return;build(L,l,Mid); build(R,Mid+1,r); }void change(int u,int l,int r) {if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) {tr[u].sum+=Len(u);tr[u].lazy++;return;}pushdown(u);if(l<=Mid) change(L,l,r);if(r>Mid) change(R,l,r);pushup(u); }LL query_sum(int u,int l,int r) {if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;pushdown(u);LL ans=0;if(l<=Mid) ans+=query_sum(L,l,r);if(r>Mid) ans+=query_sum(R,l,r);return ans; }int query_k(int u,LL sum) {if(tr[u].l==tr[u].r) return inv[tr[u].l];pushdown(u);if(sum<=tr[L].sum) return query_k(L,sum);else return query_k(R,sum-tr[L].sum); }void update(int x,int y) {while(top[x]!=top[y]) {if(depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y);change(1,dfn[top[x]],dfn[x]);x=fa[top[x]][0]; } if(depth[x]>depth[y]) swap(x,y);change(1,dfn[x],dfn[y]); }int solve() {LL now=tr[1].sum/2+1;int pos=query_k(1,now);if(query_sum(1,dfn[pos],dfn[pos]+se[pos]-1)>=now) return pos;for(int i=18;i>=0;i--) if(fa[pos][i]&&query_sum(1,dfn[fa[pos][i]],dfn[fa[pos][i]]+se[fa[pos][i]]-1)<now) pos=fa[pos][i];return fa[pos][0]; }int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0); scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n-1;i++) {int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);v[a].pb(b); v[b].pb(a);}dfs1(1,0); dfs2(1,1);build(1,1,n);int q; scanf("%d",&q);while(q--) {int op,l,r;scanf("%d%d",&op,&l);if(op==1) change(1,dfn[l],dfn[l]+se[l]-1);else scanf("%d",&r),update(l,r);printf("%d\n",solve());} return 0; } /**/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的XXI Open Cup. Grand Prix of Korea I. Query On A Tree 17 树剖 + 二分 + 树带权重心的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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