題意：給三棵基于同一點集的帶邊權的樹，邊權非負，求兩點間三棵樹上距離之和的最大值。

$n\le 10^5$

一句話題解：在第一棵樹上做邊分治，丟到第二棵樹上建虛樹，在虛樹上根據第三棵樹的直徑dp。

首先，這個問題難搞的地方只在于需要統計 lca。所以我們做的一切工作都是為了搞掉 lca 。

在求最大值的問題上有以下搞法：

樹分治

枚舉 lca 統計貢獻。或者說就是 dp。

把這兩個合起來就可以做 暴力寫掛 了。但這個問題還多了一棵樹，還要再用一個方法。

哲學分析，如果沒有特殊性質，剩下這個方法肯定不會太弱于點分治，然后你就可以棄療了。仔細觀察，這題唯一有的特殊條件就只有藏在數據范圍里的邊權非負了。

邊權非負的時候直徑是可以合并的，所以第三個方法就是利用直徑。

整理一下，在第一棵樹上點分治，通過到分治中心的距離之和代替距離，搞掉第一棵樹的 lca。在第二棵樹的虛樹上 dp，只在 lca 處更新答案，搞掉第二棵樹的 lca。在 dp 時記錄虛樹的子樹中兩種顏色的點集在第三棵樹上的直徑，枚舉端點合并，直接處理第三棵樹上的距離。

設分治中心邊的邊權為 $w$，第一棵樹上的點到分治中心的距離為 $dis$,第二棵樹上的點的深度為 $dep$，第三棵樹上兩點距離為 $dist$,我們相當于求這個東西的最大值

$$w+di{s}_a+di{s}_b+de{p}_a+de{p}_b?2de{p}_{\mathrm{lca}(a,b)}+dist(a,b)$$

我們假裝在第三棵樹上每個點掛兩個葉子，邊權為 $di{s}_a+de{p}_a$，所以直徑可合并的結論在端點有權值時也是成立的。

復雜度是 $O(n\log n)$。

人生最長代碼，不過很多復制粘貼，不算難寫。

要注意虛樹上的虛點不屬于任何顏色。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #include <algorithm> #define MAXN 200005 #define MAXM 400005 using namespace std; typedef long long ll; const int INF=0x7fffffff; inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } inline ll readll() {ll ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } struct edge{int u,v;ll w;}e[MAXM]; int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt=1; inline void addnode(int u,int v,ll w) {e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt; } vector<edge> E[MAXN]; int vis[MAXN],n,tot; void dfs(int u) {vis[u]=1;if ((int)E[u].size()<=3){for (int i=0;i<(int)E[u].size();i++){int v=E[u][i].v;ll w=E[u][i].w;if (!vis[v])dfs(v),addnode(u,v,w),addnode(v,u,w); }return;}int cur[2]={++tot,++tot},pos=0;addnode(u,cur[0],0),addnode(cur[0],u,0);addnode(u,cur[1],0),addnode(cur[1],u,0);for (int i=0;i<(int)E[u].size();i++)if (!vis[E[u][i].v])E[cur[pos^=1]].push_back(E[u][i]);dfs(cur[0]),dfs(cur[1]); } int rt,mi,siz[MAXN]; void findrt(int u,int f,int sum) {siz[u]=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!vis[i>>1]&&e[i].v!=f){findrt(e[i].v,u,sum);if (max(siz[e[i].v],sum-siz[e[i].v])<mi) mi=max(siz[e[i].v],sum-siz[e[i].v]),rt=i;siz[u]+=siz[e[i].v];} } int LOG[MAXM]; namespace FT {edge e[MAXM];int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;inline void addnode(int u,int v,ll w){e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;}ll dis[MAXN],val[MAXN];int dfn[MAXN],lis[MAXM],tim;inline bool cmp(const int& x,const int& y){return dfn[x]<dfn[y];}void dfs(int u,int f){lis[dfn[u]=++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f){dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;dfs(e[i].v,u);lis[++tim]=u;}}int st[MAXM][20];inline int lca(int x,int y){x=dfn[x],y=dfn[y];if (x>y) swap(x,y);int t=LOG[y-x+1];return min(st[x][t],st[y-(1<<t)+1][t],cmp);}inline ll dist(int x,int y){return x&&y? dis[x]+dis[y]+val[x]+val[y]-2*dis[lca(x,y)]:-1;}void input(){for (int i=1;i<n;i++){int u,v;ll w;u=read(),v=read(),w=readll();addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}dfs(1,0);for (int i=1;i<=tim;i++) st[i][0]=lis[i];for (int j=1;j<20;j++)for (int i=1;i+(1<<(j-1))<=tim;i++)st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1],cmp);} } namespace VT {edge e[MAXM];int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;inline void addnode(int u,int v,ll w){e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;}ll dis[MAXN];int dfn[MAXN],lis[MAXM],tim;inline bool cmp(const int& x,const int& y){return dfn[x]<dfn[y];}void dfs(int u,int f){lis[dfn[u]=++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (e[i].v!=f){dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;dfs(e[i].v,u);lis[++tim]=u;}}int st[MAXM][20],col[MAXN];inline int lca(int x,int y){x=dfn[x],y=dfn[y];if (x>y) swap(x,y);int t=LOG[y-x+1];return min(st[x][t],st[y-(1<<t)+1][t],cmp);}void input(){memset(col,-1,sizeof(col));for (int i=1;i<n;i++){int u,v;ll w;u=read(),v=read(),w=readll();addnode(u,v,w),addnode(v,u,w);}dfs(1,0);for (int i=1;i<=tim;i++) st[i][0]=lis[i];for (int j=1;j<20;j++)for (int i=1;i+(1<<(j-1))<=tim;i++)st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1],cmp);}vector<int> p,son[MAXN];struct path{int x,y;inline path(const int& x=0,const int& y=0):x(x),y(y){}};inline ll calc(const path& a){return FT::dist(a.x,a.y);}inline bool operator <(const path& a,const path& b){return calc(a)<calc(b);}int stk[MAXN],tp;path mx[MAXN][2];ll ans;void dfs(int u){mx[u][0]=mx[u][1]=path(0,0);if (~col[u]) mx[u][col[u]]=path(u,u);for (int i=0;i<(int)son[u].size();i++){int v=son[u][i];dfs(v);path t;t=max(t,path(mx[u][0].x,mx[v][1].x));t=max(t,path(mx[u][0].x,mx[v][1].y));t=max(t,path(mx[u][0].y,mx[v][1].x));t=max(t,path(mx[u][0].y,mx[v][1].y));t=max(t,path(mx[u][1].x,mx[v][0].x));t=max(t,path(mx[u][1].x,mx[v][0].y));t=max(t,path(mx[u][1].y,mx[v][0].x));t=max(t,path(mx[u][1].y,mx[v][0].y));ans=max(ans,calc(t)-2*dis[u]);t=max(mx[u][0],mx[v][0]);t=max(t,path(mx[u][0].x,mx[v][0].x));t=max(t,path(mx[u][0].x,mx[v][0].y));t=max(t,path(mx[u][0].y,mx[v][0].x));t=max(t,path(mx[u][0].y,mx[v][0].y));mx[u][0]=t;t=max(mx[u][1],mx[v][1]);t=max(t,path(mx[u][1].x,mx[v][1].x));t=max(t,path(mx[u][1].x,mx[v][1].y));t=max(t,path(mx[u][1].y,mx[v][1].x));t=max(t,path(mx[u][1].y,mx[v][1].y));mx[u][1]=t;}}ll solve(){sort(p.begin(),p.end(),cmp);int s=p.size();for (int i=0;i<s-1;i++) p.push_back(lca(p[i],p[i+1]));sort(p.begin(),p.end(),cmp);p.erase(unique(p.begin(),p.end()),p.end());tp=0;for (int i=0;i<(int)p.size();i++){while (tp&&lca(stk[tp],p[i])!=stk[tp]) --tp;if (tp) son[stk[tp]].push_back(p[i]);stk[++tp]=p[i];}ans=0;dfs(stk[1]);for (int i=0;i<(int)p.size();i++) son[p[i]].clear(),col[p[i]]=-1;p.clear();return ans;} } void dfs(int u,int f,int c,ll d) {if (u<=n) FT::val[u]=d+VT::dis[u],VT::p.push_back(u),VT::col[u]=c;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!vis[i>>1]&&e[i].v!=f)dfs(e[i].v,u,c,d+e[i].w); } ll ans; void solve(int sum) {if (mi==INF) return;vis[rt>>1]=1;dfs(e[rt].v,0,0,0);dfs(e[rt].u,0,1,0); ans=max(ans,VT::solve()+e[rt].w);int cur=rt,sz=siz[e[rt].v];mi=INF,findrt(e[cur].v,0,sz),solve(sz);mi=INF,findrt(e[cur].u,0,sum-sz),solve(sum-sz); } int main() {LOG[0]=-1;for (int i=1;i<MAXM;i++) LOG[i]=LOG[i>>1]+1;tot=n=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v;ll w;u=read(),v=read(),w=readll();E[u].push_back((edge){u,v,w}),E[v].push_back((edge){v,u,w});}dfs(1);memset(vis,0,sizeof(vis));VT::input();FT::input();mi=INF,findrt(1,0,tot),solve(tot);cout<<ans;return 0; }

總結

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