樹型dp

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文章目錄

• 樹型dp
• 例題
• • • NC15033 小G有一個大樹
    • NC511788 沒有上司的舞會(最大獨(dú)立集)
    • poj1463 NC106060 Strategic game(樹的最小點覆蓋)
    • NC24953 CellPhoneNetwork（樹的最小支配集）
    • 以上小總結(jié)：
    • NC50505 二叉蘋果樹
    • 延伸-->多叉樹情況
    • NC202475 樹上子鏈（樹的直徑）
    • NC22598 Rinne Loves Edges
    • NC210473 吉吉王國
• 習(xí)題
• • NC13249 黑白樹
  • NC15748 旅游
  • NC19782 Tree
  • NC200547 劃分樹
  • NC201400 樹學(xué)
  • NC20811 藍(lán)魔法師
  • NC51179 選課
  • NC51180 Accumulation Degree

例題

NC15033 小G有一個大樹

題解鏈接
樹的重心定義為：樹中的一個點,刪掉該點，使剩下的樹所構(gòu)成的森林中最大的子樹節(jié)點數(shù)最少。
dp[i]=max(n-tot[i],max(tot[k]))

NC511788 沒有上司的舞會(最大獨(dú)立集)

題解鏈接
dp[i][0]不選i點時，i點及其子樹能選出的最大快樂指數(shù)
dp[i][1]表示選擇i點時，i點及其子樹的最大快樂值
狀態(tài)轉(zhuǎn)移：
dp[i][0]=∑(max dp[j][0],dp[j][1])//當(dāng)i點不選時，兒子選與不選
dp[i][1]=∑dp[j][0]+Hi//選了父親，不能選兒子
(j是i的兒子)
邊界：dp[i][0]=0 dp[i][1]=hi
結(jié)果：max(dp[root][0],dp[root][1])
本質(zhì)：兒子與父親不能同時選

poj1463 NC106060 Strategic game(樹的最小點覆蓋)

題解鏈接
試題：一個樹，在一個節(jié)點放兵，周圍的邊就被守護(hù)，守護(hù)所有的邊，問最少放多少兵
確定狀態(tài)：
dp[x][1]以x為根的子樹全被看住且在x上放置士兵的最少所需的士兵數(shù)量
dp[x][0]以x為根的子樹全被看住且在x上沒有 放置士兵的最少所需的士兵數(shù)量.
確定狀態(tài)方程：
dp[x][1]=1+∑min(dp[i][0],dp[i][1])//x上放了士兵，x的兒子們可放可不放
dp[x][0]=∑dp[i][1]//如果x不放士兵，x的兒子必須放
結(jié)果min(dp[root][0],dp[root][1])
i是x的兒子
相當(dāng)于我們在考慮x點時，x的子節(jié)點都是被考慮完的，x能否被覆蓋完全取決于自身或x的兒子

NC24953 CellPhoneNetwork（樹的最小支配集）

題解鏈接
最少用多少個點可以覆蓋掉所有其他點
確定狀態(tài)：
dp[x][0]：選點i，并且以點i為根的子樹都被覆蓋
dp[x][1]：不選i，i被其兒子覆蓋
dp[x][2]：不選點i，i被其父親覆蓋（此時兒子可選可不選）
轉(zhuǎn)移方程：
dp[i][0]=1+∑min(dp[u][0],dp[u][1],dp[u][2])(u是i的兒子)
被兒子被自己被父親覆蓋

dp[i][2]=∑(dp[u][1],dp[u][0])
i被父親覆蓋，u是i的兒子，u 可選可不選，但是u肯定不會被i所覆蓋

對于dp[i][1]情況，i的兒子們中必須有一個取dp[u][0]
if(i沒有子節(jié)點)dp[i][1]=INF
else dp[i][1]=∑min（dp[u][0],dp[u][1]）+inc
對于inc
if(∑min（dp[u][0],dp[u][1]）中包含某個dp[u][0])inc=0
else inc=min(dp[u][0]-dp[u][1])
選與不選
圖一是自然被選
圖二是強(qiáng)制選擇

以上小總結(jié)：

最小點覆蓋
每個點附近周圍的邊
最大獨(dú)立集
父親與兒子不能同時選，選最多的點
最小支配集
每個點附近周圍的點

把子樹當(dāng)做一個整體

NC50505 二叉蘋果樹

詳細(xì)題解
一棵二叉蘋果樹，且一定分二叉， 給定需要保留的樹枝數(shù)量，求最多能留住多少蘋果
確定狀態(tài)：
dp[u][v]以u為根的子樹保留j個分支可以得到的最大蘋果數(shù)量

左右兒子都在
左子樹砍了

三種情況：
只保留左
dp[u][j]=dp[l][j-1]+a[j][l]
只保留右
dp[u][j]=dp[r][j-1]+a[j][r]
左子樹保留x個，右子樹保留j-2-x個
dp[u][j]=dp[l][x]+dp[r][j-2-x]+a[j][l]+a[j][r]
a是指每條邊的蘋果樹數(shù)量

延伸–>多叉樹情況

不斷將一個子樹合并到左子樹里，始終處理的只有兩個子樹
強(qiáng)行當(dāng)做二叉樹處理

樹上背包
dp[u][j]=max(dp[u][k]+dp[v][j-k-1]+w)
v是u的子節(jié)點，k∈[0,j]
w=a[u][v]//u與v之間的邊權(quán)
(發(fā)現(xiàn)該公式類似于背包)

NC202475 樹上子鏈（樹的直徑）

詳細(xì)題解
每個點有點權(quán)
樹的子鏈大小的這個子鏈上所有結(jié)點的權(quán)值和
在樹T中找到最大的子鏈

樹的直徑：兩邊dfs
點權(quán)與邊權(quán)轉(zhuǎn)換

NC22598 Rinne Loves Edges

詳細(xì)題解
題意：
n個節(jié)點m條邊的無向連通圖（為樹，m=n-1）
選取一個點S,然后刪除一些邊，使得原圖中所有除S之外度為1的點都不能到達(dá)S（讓葉子節(jié)點和根節(jié)點不通）
刪邊的費(fèi)用為邊的權(quán)值

可以跑網(wǎng)絡(luò)流，全局最小割
樹的話，沒必要

考慮x點的子樹上每個葉子都與s不連通
兩種情況：
把x和他的兒子斷開
在x的子樹上取把所有葉子節(jié)點斷開
dp[x]表示x的子樹上的所有葉子和根斷開的最小代價
dp[x]=∑（min(dp[y],dis[x][y])）
y是x的兒子

NC210473 吉吉王國

詳細(xì)題解
題目：
一棵無向樹，切掉一些邊，切斷的邊的權(quán)值不能超過m，使得葉子節(jié)點與根節(jié)點（1號）分離，要使得切斷的邊中最大的邊權(quán)要盡可能小

最大值最小：二分
去二分最長能切的邊
二分+判定
如果可以切就切斷，如果x到y(tǒng)的邊切不斷（x是y的父親節(jié)點），那就切y子樹里面的節(jié)點，一直向下

習(xí)題

題目鏈接

NC13249 黑白樹

NC15748 旅游

NC19782 Tree

NC200547 劃分樹

NC201400 樹學(xué)

NC20811 藍(lán)魔法師

NC51179 選課

NC51180 Accumulation Degree

總結(jié)

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