problem

luogu-P3160

solution

這么小的數據范圍，非暴力不狀壓。暴力 $O(28!)$ 呵呵呵可以拉走了。

我們不妨從小到大填數字，這樣如果局部極小值點還沒有填的話，周圍的九宮格就一定不能被填。

設 $dp(s,i):$ 局部極小值點的是否填了數字的情況 $s$，已經填完了 $[1,i]$ 以內的數字。

• 將 $i+1$ 填入非極小值點影響區域。

  $dp(s,i+1)\leftarrow dp(s,i)?(cnt?i)$。

  $cnt:$ 除去現在還沒有被填的極小值以及其九宮格內的格子，剩下的個子數量，顯然要空出 $n?cnt$ 個格子去滿足極小值點周圍的要求。

  不能簡單的用 $9\times$ 極小值點個數，顯然兩個極小值的九宮格有可能重疊部分。

• 將 $i+1$ 填入極小值點。

  那么該極小值一旦被填，就可以釋放周圍九宮格的限制。

  $dp(s|(1<<j),i+1)\leftarrow dp(s,i)$。

具體可見下方代碼。

但是這樣 $dp$ 我們發現一個致命的問題。

我們會計算到『某些九宮格內中心點不是 $\text{X}$，但中心點又恰好滿足局部極小值的要求』的情況。

而包含這種情況的方案在題目中是不合法的。題目已經給出了所有局部極小值點，其余點就必須不是。

這里我們就想到了 容斥 。不好意思我沒有想到

我們可以額外多欽定了 $k$ 個極小值點，那么算出來的 $dp$ 應該前面配一個 $(?1{)}^k$ 容斥出最后的答案。

而可以同時存在的局部極小值點個數并沒有多少，頂多 $8$ 個。

所以 $k$ 并不會多大。

我們完全可以搜索做。

code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define mod 12345678 int n, m, ans; int px[10], py[10]; char ch[10][10]; int vis[10][10]; int f[1 << 10][30];bool inside( int x, int y ) {if( x < 0 or x >= n or y < 0 or y >= m ) return 0;else return 1; }int calc() {memset( f, 0, sizeof( f ) );int tot = 0;for( int i = 0;i < n;i ++ )for( int j = 0;j < m;j ++ )if( ch[i][j] == 'X')px[tot] = i, py[tot] = j, ++ tot;f[0][0] = 1;for( int s = 0;s < (1 << tot);s ++ ) {memset( vis, 0, sizeof( vis ) );for( int i = 0;i < tot;i ++ )if( ! (s >> i & 1) )for( int x = -1;x <= 1;x ++ )for( int y = -1;y <= 1;y ++ )if( inside( px[i] + x, py[i] + y) )vis[px[i] + x][py[i] + y] = 1;int cnt = n * m;for( int i = 0;i < n;i ++ )for( int j = 0;j < m;j ++ )cnt -= vis[i][j];for( int i = 0;i <= cnt;i ++ )if( f[s][i] ) {( f[s][i + 1] += f[s][i] * ( cnt - i ) ) %= mod;for( int j = 0;j < tot;j ++ )if( ! (s >> j & 1) )( f[s | (1 << j)][i + 1] += f[s][i] ) %= mod;}}return f[(1 << tot) - 1][n * m]; }void dfs( int x, int y, int k ) {if( x >= n ) return ( ans += k * calc() ) %= mod, void();if( y >= m ) dfs( x + 1, 0, k );else {dfs( x, y + 1, k );bool flag = 1;for( int i = -1;i <= 1;i ++ )for( int j = -1;j <= 1;j ++ )if( inside( x + i, y + j ) and ch[x + i][y + j] == 'X' )flag = 0;if( flag ) {ch[x][y] = 'X';dfs( x, y + 1, -k );ch[x][y] = '.';}} }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 0;i < n;i ++ )scanf( "%s", ch[i] );for( int i = 0;i < n;i ++ )for( int j = 0;j < m;j ++ )if( ch[i][j] == 'X' ) for( int x = -1;x <= 1;x ++ )for( int y = -1;y <= 1;y ++ )if( ( x or y ) and inside( i + x, j + y ) and ch[i + x][j + y] == 'X' )return puts("0"), 0;dfs( 0, 0, 1 );printf( "%lld\n", ( ans + mod ) % mod );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CQOI2012] 局部极小值（状压DP + 容斥 + 搜索）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。