正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2012

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題目大意

$12$種東西排列成長度為$n$的序列，要求前四種出現(xiàn)奇數(shù)次，后四種出現(xiàn)偶數(shù)次，求方案。$T$組數(shù)據(jù)，對$10^9$取模。

$1\le n<2^{63},1\le T\le 2\times 10^5$

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解題思路

顯然是$EGF$，沒有限制的話就是$e^x$，奇數(shù)就是$\frac{e^x?e^{?x}}{2}$，偶數(shù)就是$\frac{e^x+e^{?x}}{2}$，這些都是老生常談了。

然后答案就是
$$n!\times (\frac{e^x?e^{?x}}{2}{)}^4(\frac{e^x+e^{?x}}{2}{)}^4(e^x{)}^4$$

然后解出來就是
$$F(x)=n!\times \frac{1}{256}\times (e^{12x}?4e^{8x}+6e^{4x}?4+e^{?4x})$$
$$?F(x)[n]=\frac{1}{256}\times (12^n?4\times 8^n+6\times 4^n?4+(?4{)}^n)$$

然后發(fā)現(xiàn)$256$沒有逆元，但是因?yàn)檫@些底數(shù)都含有$256$的因數(shù)$2$所以
$$=81\times 12^{n?4}?8^{n?2}+6\times 4^n?4+(?4{)}^{n?4}$$

小的直接處理就好了

然后發(fā)現(xiàn)這樣還是過不了，那就用擴(kuò)展歐拉定理模上一個$\phi (10^9)=4\times 10^8$然后根號分治預(yù)處理一下光速冪就可以過了。

時間復(fù)雜度$O(20000+T)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cctype> #define ll long long using namespace std; const ll b[5]={0,0,0,0,24},T=20000,N=T+10,P=1e9,Phi=4e8; ll n,pw2[N],pw3[N],Pw2[N],Pw3[N]; ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();return x*f; } void print(ll x) {if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+48);return;} ll G4(ll n) {n%=Phi;return Pw2[n/T]*Pw2[n/T]%P*pw2[n%T]%P*pw2[n%T]%P;} ll G8(ll n) {n%=Phi;return Pw2[n/T]*pw2[n%T]%P*G4(n)%P;} ll G12(ll n) {n%=Phi;return Pw3[n/T]*pw3[n%T]%P*G4(n)%P;} signed main() {pw2[0]=pw3[0]=Pw2[0]=Pw3[0]=1;for(ll i=1;i<=T;i++)pw2[i]=pw2[i-1]*2ll%P,pw3[i]=pw3[i-1]*3ll%P;for(ll i=1;i<T;i++)Pw2[i]=Pw2[i-1]*pw2[T]%P,Pw3[i]=Pw3[i-1]*pw3[T]%P;while(1){n=read();if(!n)break;if(n<=4){print(b[n]),putchar('\n');continue;}ll ans=81ll*G12(n-4);ans=ans-G8(n-2);ans=ans+6ll*G4(n-4);ans=ans+((n&1)?-1:1)*G4(n-4);print((ans%P+P)%P);putchar('\n'); }return 0; }

總結(jié)

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