正題

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題目大意

給出$n$個點的一張完全有向圖，每一天$i$到$j$的路徑有$p_{i,j}$的概率出現。
詢問從$1$出發走到$n$在最優策略下的期望天數。

$1\le n\le 10^3,p_{i,i}=1$

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解題思路

設$g_i$表示從$i$到$n$的答案，那么$g$滿足式子
$$g_i=\sum _{j=1}^n\frac{g_j}{{\prod }_{g_k<g_j}(1?p_{j,k})}\times p_{i,j}\times \prod _{g_k<g_j}(1?p_{i,k})$$
注意到里面有條件$g_k<g_j$，但是我們并不知道$g$，好像就死循環了。

但是我們可以知道$g_n$肯定是最小的而且是$0$，然后剩下第二小的只會受到$g_n$的影響，也就是這個里面有一個的$g$是完整的。

可以猜測這個第二小的肯定是剩下的$g$里面最小的那個，因為如果不是，那么顯然不滿足我們最小化的條件，從一個更大的走到了本應該可以更小的。

所以我們每次剩下的點中找到一個最小的$\frac{g_j}{{\prod }_{g_k<g_j}(1?p_{j,k})}$來更新它對其他點的影響即可。

時間復雜度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1100; int n;bool v[N]; double p[N][N],prod[N],f[N]; int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%lf",&p[i][j]);p[i][j]/=100.0;}}if(n==1)return puts("0")&0;for(int i=1;i<n;i++)prod[i]=1-p[i][n],f[i]=1;v[n]=1;while(1){double low=1e9;int x;for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i]/(1-prod[i])<low&&!v[i])low=f[i]/(1-prod[i]),x=i;if(x==1)return printf("%.10lf",low)&0;v[x]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(v[i])continue;f[i]+=low*p[i][x]*prod[i];prod[i]*=(1-p[i][x]);}}return 0; }

總結

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