正題

題目鏈接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3175

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題目大意

開始有一個$n$位二進制數(shù)$s=0$，每次有$p_i$概率選取數(shù)字$i$讓$s$或上這個數(shù)字$i$，求期望多少次能夠讓$s$的$n$個位都變?yōu)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$1$。

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解題思路

因為是或所以我們只關心最后一個選中的數(shù)，設第$i$位選中的期望次數(shù)為$E(i)$的話答案就是$max\{E(i)\}$。

又是期望又是$max$所以可以直接上$\text{min-max}$容斥，答案就是
$$\sum _{T\in S}min\{E(i)\}(i\in T)?(?1{)}^{|T|+1}$$

算這個東西的話也就是如果我們選中一個與$T$有交集的數(shù)就可以退出了。期望次數(shù)=1/期望概率。所以我們直接算期望概率

也就是我們要算所有${\sum }_{G\cap T=?}{p}_G$。$G$和$T$的交集非空就去掉所有交集為空的，交集為空的就是$T$的補集的子集和。

子集和的話就是直接拿$p$出來跑一次$or$的$\text{FWT}$的結果就是子集和了。

時間復雜度$O(n{2}^n)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int N=1<<21; const double eps=1e-8; int n;double cnt[N],p[N],ans; void FWT_or(double *f,int op){for(int p=2;p<=n;p<<=1)for(int k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)for(int i=k;i<k+len;i++)f[i+len]+=f[i]*op;return; } int main() {scanf("%d",&n);cnt[0]=-1;n=1<<n;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);FWT_or(p,1);for(int i=0;i<n;i++){if(i)cnt[i]=-cnt[i-(i&-i)];double e=1-p[(n-1)^i];if(fabs(e)<eps)continue;ans+=cnt[i]*(1.0/e);}if(ans<eps)printf("INF");else printf("%.10lf",ans); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3175-[HAOI2015]按位或【min-max容斥,FWT】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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