正題

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題目大意

有$n$個點，將兩個點連成線，求斜率最接近$\frac{P}{Q}$的線。

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解題思路

我們有一個結論：若我們對于每一個點做一條斜率為$\frac{P}{Q}$的線，然后按截距排序，然后答案必定是相鄰的點。

證明:

我們在三條線上分別做點$A,B,C$，我們用$tan(A,B)$表示直線$A,B$的斜率
我們現在要證明$tan(A,C)$或$tan(C,B)$必定比$tan(A,B)$更接近$\frac{P}{Q}$。
我們做$AD\perp l1$，做$BE\perp l2$，然后我們分類討論。

$C$點在$AD$線的左邊，此時我們發現$C$和$B$的距離顯然比$A$和$B$的要遠，所以斜率更接近。

$C$點在$BE$線的右邊，與上面同理

$C$點在$AD$的右邊$BE$的左邊此時我們有$tan(AC)>\frac{P}{Q},tan(CB)>\frac{P}{Q},tan(AB)>\frac{P}{Q}$，然后因為這個三角形中必定有一條邊的斜率大于$AB$，一條小于$AB$，所以我們取叫小的那條就是更接近的。

那我們現在證明了三條時的情況，擴展到多條時是同理的。

證明完畢

所以我們可以對于每條線按照截距排序，然后只計算相鄰的邊即可。

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define ll long long using namespace std; const ll N=2e5+10; struct node{ll a,b; }ans,get; struct point{ll x,y;double z; }a[N]; ll n,x[N],y[N]; double operator-(const node &x,const node &y) {return fabs(1.0*x.a/x.b-1.0*y.a/y.b);} bool operator<(const node &x,const node &y) {return 1.0*x.a/x.b<1.0*y.a/y.b;} bool cMp(point x,point y) {return x.z<y.z;} int main() {//freopen("slope.in","r",stdin);//freopen("slope.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&get.a,&get.b);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);a[i].z=a[i].y*1.0-(double)(a[i].x*1.0*get.a*1.0/get.b);}sort(a+1,a+1+n,cMp);ans=(node){abs(a[2].y-a[1].y),abs(a[1].x-a[2].x)};for(ll i=3;i<=n;i++){node now=(node){abs(a[i].y-a[i-1].y),abs(a[i].x-a[i-1].x)};if((now-get)==(ans-get)&&now<ans) ans=now;else if(now-get<ans-get) ans=now;}ll q=ans.a,p=ans.b,d=__gcd(q,p);printf("%lld/%lld",q/d,p/d); }

總結

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