正題

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大意

畫n條線，每次坐標變換為$(x+n,y+(?1{)}^{(i+1)}?i)(i=1～n)$。給出n，求線穿過的格點數。

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解題思路

首先我們想穿過格點的問題，我們可以無視方向，然后每次就當從$(0,0)$到$(n,i)$劃一條線。然后我們可以發現穿過的格點數(算上起點)就是$gcd(n,i)$，因為每次都會穿過$(n/j,i/j)(j=1～gcd(n,i))$這些點。
然后我們可以知道答案就是
$$1+\sum _{i=1}^{n}gcd(n,i)$$
但是暴力枚舉會超時，我們需要想別的方法
$$\sum _{i=1}^{n}gcd(n,i)=d$$
$$=>\sum _{d=1}^{n}d?\sum _{i=1}^n(gcd(i,n)==d)$$
$$\sum _{d=1}^{n}d?\sum _{i=1}^{n}gcd(i/d,n/d)=1$$
因為要求$gcd(i/d,n/d)=1$，所以i的個數就是$\phi (n/d)$
所以答案就是
$$\sum _{d=1}^{n}d\times \phi (n/d)$$
由于要求$n/d$是整數，所以我們可以化為
$$1+\sum _{d|n}d\times \phi (n/d)$$
然后暴力枚舉約數和暴力求歐拉函數值時間復雜度為$O(\sqrt{n}logn)$

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代碼

#include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; ll n,ans=1; ll phi(ll n)//求歐拉函數 {ll ans=n;for (ll i=2;i*i<=n;i++)if (n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while (n%i==0) n/=i;}if (n>1) ans=ans/n*(n-1);return ans; } int main() {//freopen("beats.in","r",stdin);//freopen("beats.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);for (ll i=1;i*i<=n;i++){if (!(n%i)) {ans+=phi(n/i)*i;if (i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);}//求約數}printf("%lld",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的jzoj3509-倒霉的小C【gcd,欧拉函数】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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