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目錄

• • • 無源匯上下界可行流
    • 有源匯上下界最大流
    • 有源匯上下界最小流

無源匯上下界可行流

問題： 給定一個網絡，求一個流滿足：每條邊的流量處在給定的下界和上屆[lower,upper]之間，滿足流量守恒

首先我們在原網絡中確定一個全部是下界的流網絡，當然此流不一定是可行流因為其不一定滿足流量守恒，不妨叫此流流①
此時問題轉化成找到一個流②，每條邊的流量處在[0,upper-lower]之間，此流與之前的流①相加（流①+流②）滿足流量守恒，是一個可行流。顯然流②不一定是可行流，但是我們可以經過以下調整將其變成一個可行流，從而能過求出流②

• 記$A(u)={\sum }_{toi=u}f(i)?{\sum }_{fromi=u}f(i)$即流入減去流出
• 若$A(u)>0$，源點$S$向$u$點連邊，容量是$A(u)$
• 若$A(u)<0$，$u$點向匯點$T$連邊，容量是$?A(u)$

如果滿流此時即可求出流②（否則無解），再加上流①即是滿足題意的可行流
無源匯上下界可行流

#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N=210,M=(10310+N)*2; int n,m,S,T; int h[N],e[M],ne[M],l[M],f[M],idx; int d[N],q[N],A[N],cur[N]; void add(int a,int b,int c,int d)// 下界c 上屆d { //建圖上界-下界e[idx]=b,ne[idx]=h[a],l[idx]=c,f[idx]=d-c,h[a]=idx++;e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++; } bool bfs() {memset(d,-1,sizeof d);int tt=0,hh=0;d[S]=0,q[0]=S,cur[S]=h[S];while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]==-1&&f[i]){d[j]=d[t]+1;cur[j]=h[j];if(j==T) return 1;q[++tt]=j;}}}return 0; } int dfs(int u=S,int flow=0x3f3f3f3f) {if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){cur[u]=i;int j=e[i];if(d[j]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(j,min(f[i],rmn));if(!t) d[j]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn; } int dinic() {int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r; } int main() {cin>>n>>m;S=0,T=n+1;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,d;cin>>a>>b>>c>>d;add(a,b,c,d);A[b]+=c,A[a]-=c;}int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(A[i]>0) add(S,i,0,A[i]),tot+=A[i];else if(A[i]<0)add(i,T,0,-A[i]);}if(tot!=dinic())cout<<"NO\n";else{cout<<"YES\n";for(int i=0;i<2*m;i+=2)cout<<f[i^1]+l[i]<<'\n';// 流②+流①}return 0; }

有源匯上下界最大流

連接一條t->s下界是0上界是$\infty$的邊，由此轉化循環流問題（無源匯上下界可行流）

按照循環流問題建圖，首先跑dinic看是否能夠找到一條可行流（即判斷是否是滿流）
然后在換源點和匯點并刪去t->s的邊再跑一邊dinic（榨干殘留網絡），可行流+第二次dinic即是最大流

心里沒有一點AC數的詳細證明

有源匯上下界最大流

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N=210,M=(N+10000)*2; int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx; int n,m,S,T; int d[N],q[N],cur[N],A[N]; void add(int a,int b,int c) {e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++; } bool bfs() {int tt=0,hh=0;memset(d,-1,sizeof d);d[S]=0,cur[S]=h[S],q[0]=S;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]==-1&&f[i]){d[j]=d[t]+1;cur[j]=h[j];if(j==T) return 1;q[++tt]=j;}}}return 0; } int dfs(int u=S,int flow=0x3f3f3f3f) {if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){cur[u]=i;int j=e[i];if(d[j]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(j,min(f[i],rmn));if(!t) d[j]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn; }int dinic() {int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r; } int main() {int s,t;cin>>n>>m>>s>>t;memset(h,-1,sizeof h);S=0,T=n+1;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,d;cin>>a>>b>>c>>d;add(a,b,d-c);A[a]-=c,A[b]+=c;}int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(A[i]>0)add(S,i,A[i]),tot+=A[i];else if(A[i]<0)add(i,T,-A[i]);}add(t,s,0x3f3f3f3f);if(dinic()!=tot) cout<<"No Solution\n";else{int f1=f[idx-1];S=s,T=t;f[idx-1]=f[idx-2]=0; //刪去 t->s的邊cout<<f1+dinic()<<'\n';} }

有源匯上下界最小流

最小流=可行流$+$s->t流
由于可行流固定，為了使結果最小即s->t流最小
由于 s->t的流= - t->s的流
如果t->s求最大流，那么s->t就是最小流，$f_{s\to t}=?f_{t\to s}$ 這也是為什么相減的原因

有源匯上下界最小流

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int N=50010,M=(N+126000)*2; int h[N],e[M],ne[M],f[M],idx; int n,m,S,T; int d[N],q[N],cur[N],A[N]; void add(int a,int b,int c) {e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++; } bool bfs() {int tt=0,hh=0;memset(d,-1,sizeof d);d[S]=0,cur[S]=h[S],q[0]=S;while(hh<=tt){int t=q[hh++];for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(d[j]==-1&&f[i]){d[j]=d[t]+1;cur[j]=h[j];if(j==T) return 1;q[++tt]=j;}}}return 0; } int dfs(int u=S,int flow=0x3f3f3f3f) {if(u==T) return flow;int rmn=flow;for(int i=cur[u];i!=-1&&rmn;i=ne[i]){cur[u]=i;int j=e[i];if(d[j]==d[u]+1&&f[i]){int t=dfs(j,min(f[i],rmn));if(!t) d[j]=-1;f[i]-=t,f[i^1]+=t,rmn-=t;}}return flow-rmn; }int dinic() {int r=0;while(bfs()) r+=dfs();return r; } int main() {int s,t;cin>>n>>m>>s>>t;memset(h,-1,sizeof h);S=0,T=n+1;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c,d;cin>>a>>b>>c>>d;add(a,b,d-c);A[a]-=c,A[b]+=c;}int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(A[i]>0)add(S,i,A[i]),tot+=A[i];else if(A[i]<0)add(i,T,-A[i]);}add(t,s,0x3f3f3f3f);if(dinic()!=tot) cout<<"No Solution\n";else{int f1=f[idx-1];S=t,T=s;f[idx-1]=f[idx-2]=0; //刪去 t->s的邊cout<<f1-dinic()<<'\n';} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【模板】最大流之上下界可行流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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