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编程问答

阶乘幂与有限微积分

發布時間：2023/12/3 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了阶乘幂与有限微积分小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

差分算子 $Δ\Delta$ ： $Δf(x)=f(x+1)?f(x)\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$
平移算子 $E$ ： $E f (x) = f (x + 1)$
下降冪： $n>0,{xn￣=x(x?1)(x?2)...(x?n+1)x?n￣=1(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)n>0,\begin{cases}x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)...(x-n+1)\\x^{\underline{-n}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}\end{cases}$
上升冪： $n>0,{xn￣=x(x+1)(x+2)...(x+n?1)x?n￣=1(x?1)(x?2)(x?3)...(x?n)n>0,\begin{cases}x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\\x^{\overline{-n}}=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)}\end{cases}$
階乘冪(下降冪和上升冪的統稱)的簡單性質：

xa+b￣=xa￣(x?a)b￣x^{\underline{a+b}}=x^{\underline{a}}(x-a)^{\underline{b}}

xa+b￣=xa￣(x+a)b￣x^{\overline{a+b}}=x^{\overline{a}}(x+a)^{\overline{b}}

xn￣=(?1)n(?x)n￣x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}

xn￣=(?1)n(?x)n￣x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}}

xk￣(x?12)k￣=(2x)2k￣22kx^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2})^{\underline{k}}=\frac{(2x)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}

證明：

xk￣(x?12)k￣=x(x?12)(x?1)(x?1?12)...(x?k+1)(x?k+1?12)=2?2k×2x(2x?1)(2x?2)(2x?3)...(2x?2k+2)(2x?2k+1)=(2x)2k￣22kx^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2})^{\underline{k}}\\=x(x-\frac{1}{2})(x-1)(x-1-\frac{1}{2})...(x-k+1)(x-k+1-\frac{1}{2})\\=2^{-2k}\times 2x(2x-1)(2x-2)(2x-3)...(2x-2k+2)(2x-2k+1)\\=\frac{(2x)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}

當

n

是自然數時，有

(x+y)n￣=∑i=0n(ni)xi￣yn?i￣(x+y)^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline{n-i}}

(x+y)n￣=∑i=0n(ni)xi￣yn?i￣(x+y)^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}x^{\overline i}y^{\overline{n-i}}

$Δ(xm￣)=mxm?1￣\Delta(x^{\underline{m}})=mx^{\underline{m-1}}$ （類比求導）
$∑i=0n?1ik￣=nk+1￣k+1\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline{k}}=\frac{n^{\underline{k+1}}}{k+1}$ （類比經典積分 $∫xk=xk+1k+1\int x^k=\frac{x^{k+1}}{k+1}$ ）
特例：經典積分中 $k = ? 1$ 時有特例 $∫1x=ln?x\int \frac{1}{x}=\ln x$ ，這里也有 $∑i=0n?1i?1￣=∑i=0n?11i+1=∑i=1n1i\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline{-1}}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$
（調和級數： $∑i=0∞1i\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}$ ）
$Δ(2x)=2x\Delta(2^x)=2^x$ （類比 $(ex)′=ex(e^x)\prime=e^x$ ）
乘法法則： $Δ(uv)=u?Δv+Ev?Δu\Delta(uv)=u\cdot\Delta v+Ev\cdot\Delta u$
分部積分法則： $∑u?Δv=uv?∑Ev?Δu\sum u\cdot \Delta v=uv-\sum Ev\cdot \Delta u$

以上是生活随笔為你收集整理的阶乘幂与有限微积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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