簡單的數論題

$m(a^3+b^3)=n(c^3+d^3)$
$考慮因式分解(a^3+b^3),(c^3+d^3):$
$a^3+b^3=(a+b{)}^3?3ab(a+b)=(a+b)(a^2+b^2?ab)$
$c^3+d^3=(c+d{)}^3?3cd(c+d)=(c+d)(c^2+d^2?cd)$
$\therefore m(a+b)(a^2+b^2?ab)=n(c+d)(c^2+d^2?cd)$
$等式兩邊帶著系數m,n很不方便，(a^2+b^2?ab),(c^2+d^2?cd)結構較復雜，$
$考慮用(a+b),(c+d)把m,n消掉：$
$令a+b=kn,c+d=km$
$\therefore a^2+b^2?ab=c^2+d^2?cd①$
$盡量讓左式出現(a+b)，右式出現(c+d):$
$(a+b{)}^2?3ab=(c+d{)}^2?3cd$
$k^2{n}^2?3ab=k^2{m}^2?3cd$
$k^2(n^2?m^2)=3(ab?cd)$
$考慮令k=3,構造3(n^2?m^2)=ab?cd②:$
$嘗試1：令ab=3n^2,cd=3m^2，與a+b=3n,c+d=3m聯立求解a,b,c,d$
$結果：方程無解$
$嘗試2：因為已知(a+b),(c+d),考慮求出(a?b),(c?d):$
$回到①式，讓左式出現(a?b)，右式出現(c?d)：$
$(a?b{)}^2+ab=(c?d{)}^2+cd$
$讓此式向②式靠近：$
$(c?d{)}^2?(a?b{)}^2=ab?cd③$
$②③聯立得：$
$(c?d{)}^2?(a?b{)}^2=3(n^2?m^2)$
$令u=c?d,v=a?b$
$u^2?v^2=3(n^2?m^2)$
$(u+v)(u?v)=3(n+m)(n?m)$
$把3放進其中一個括號中：$
$(u+v)(u?v)=(n+m)(3n?3m)$
$令u+v=n+m,u?v=3n?3m$
$解得u=2n?m,v=2m?n$
$由a+b=3n,a?b=2m?n得a=n+m,b=2n?m$
$由c+d=3m,c?d=2n?m得c=n+m,d=2m?n$

如此，我們便構造出了一組整數解

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考慮何時有正整數解：
$2n?m>0,2m?n>0$
$\therefore \frac{n}{m}\in (\frac{1}{2},2)時所得為正整數解$

若$\frac{n}{m}\in (\frac{1}{2},2)$，尋找$\frac{p^{3}n}{q^{3}m}\in (\frac{1}{2},2)$（令$a,b$變為原來的$q$倍，$c,d$變為原來的$p$倍）

為了方便，我們設$n<m$(否則的話swap(n,m)即可)
那么此時必然有$0<\frac{n}{m}<1$
$若\frac{n}{m}<\frac{1}{4},\frac{n}{m}\leftarrow \frac{2^{3}n}{m}$ (保證變化后$\frac{n}{m}<2$)
$若\frac{1}{4}<=\frac{n}{m}<=\frac{1}{2},\frac{n}{m}\leftarrow \frac{2^{3}n}{3^{3}m}$ (保證變化后$\frac{1}{2}<\frac{n}{m}<2$)
$若\frac{n}{m}>\frac{1}{2},保證有正整數解$

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總結：既然題目只要求一組解，那么就要大膽地作假設來方便自己的運算，大膽地湊答案

#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f; } int T,rev; ll n,m,a,b,c,d,p,q; void solve(){rev=0;p=q=1ll;if(n>m){swap(n,m);rev=1;}while(4ll*n<m){p*=2ll;n*=8ll;}if(2ll*n<=m){p*=3ll;n*=27ll;q*=2ll;m*=8ll;}a=q*(n+m);b=q*(2ll*n-m);c=p*(n+m);d=p*(2ll*m-n);if(rev) printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,a,b);else printf("%lld %lld %lld %lld\n",a,b,c,d); } int main(){scanf("%d",&T);while(T--){n=read();m=read();solve();}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[XSY] 简单的数论题（数学、构造）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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