[遇見數學創作小組] 作者: 心如止水(Java程序員。善于把復雜的數學知識，簡潔易懂地表達出來)

在學三角這部分的時候，有些書習慣列出誘導公式(induction formula)，都列出來的話可以寫小半張紙。

那什么是“誘導公式”呢？

“誘導公式”應該是一個老的翻譯，“誘導”也就是我們今天所說的“推導”，除了公理之外，那有什么公式不是推導出來的呢？所以說起這種名字就意味著根本就沒有名字，因為實在太顯而易見了，所以沒有人好意思大叫“尤里卡”，沒有人好意思冠名。

但是沒有名字，交流起來又不方便，所以就干脆這么叫了，這種叫法類似于“孩他娘”。

“顯而易見”在哪里？

一堆式子本質上只說了兩件事情：

① ×(-1) 幾何意義是轉 π，× i 是轉了 π/2。

② f(-x) 的幾何意義是 x 軸對稱。

上面是兩個老調重彈，然后，再結合兩個顯而易見的已知事實：

③ ±2π 的幾何意義是不變。

④ co 的含義是余角。

這就是所有的“誘導公式”。

你可以看出，這說的都是些最基礎的東西，角函數就是這樣的地位：它是二維在一維的投影；旋轉和平移的橋梁；可以看做比值，它卻有簡潔的幾何定義。

如此簡單的事實是怎么變成那么多公式的？

首先，誘導公式并不是用幾何形式寫的，而用函數語言寫的，所以你需要換一種表示方法，或者說換一種觀察角度。而我們對這種角度是陌生的，所以就容易產生混亂的感覺，只要習慣了是一樣的。

其次，之所以誘導公式能寫很長一串，就是因為把 tan/sec/cot/csc 都印上去了，其實這些都可以通過 sin/cos 的變化一眼就看出來，印上去是為了實際的查閱方便，不是為了記憶。不解釋一下會“嚇人一跳”，懂了之后就很簡單，看似很多，其實就那么回事。

?怎么樣從幾何視角轉換為函數視角呢？

其實就是復數的乘法

sin 與 cos 可以看作投影，“平面上關于 x 軸 對稱的點”，在 y 軸 的投影自然是一致的，

y 軸的投影剛好符號相反。

任何角轉一圈，從靜止的角度來看都是不變的。

co 的意思是余角，余弦就是余角的正弦。

實際該怎么使用呢？

之所以羅列出誘導公式，最重要的目的就是忘記的時候，對照查閱的，如果你手邊沒有對照表，其實只要動動腦筋就可以想明白：

● 這些變化都是以 π/2 為單位的，所以說只要看到 π/2 的倍數，就知道可以應用誘導公式。

● 如果是 -π/2 奇數倍就是在原來角和余角之間切換，如果是 +π/2 奇數倍就是 × i ；如果是 π 的奇數倍，就是 ×(-1) ；如果發現是上述情況，但是符號不對，那就通過取對稱變換符號。

真正重要的公式是“積化和差”，從名字就會看出這個東西有降次作用，在對數表發明之前，天學家們就已經用這個公式來簡化計算了，納皮爾發明對數表，也可能受到了它的啟發。

參考資料: 維基百科

總結

以上是生活随笔為你收集整理的公式冒号是什么意思_三角学中，这么一堆公式其实就说了2个事而已的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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