傅里叶变换公式_理解1维傅里叶变换
上個(gè)學(xué)期，學(xué)習(xí)了信號(hào)與系統(tǒng)。雖然知道了傅里葉變換的作用以及如何使用。但是對(duì)于它的本質(zhì)，也就是FT是如何探測(cè)到頻率的尚有疑惑。
而恰好在知乎上發(fā)現(xiàn)了一些很好的回答。故將這些回答整理在這。
- 感性理解1維FT
知友Heinrich寫(xiě)的傅里葉分析之掐死教程（完整版）直觀的解釋了時(shí)域的信號(hào)是如何分解為多個(gè)三角信號(hào)的。這個(gè)教程里面引人注意的是它對(duì)于相位的解釋。
Heinrich：傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06?zhuanlan.zhihu.com- 數(shù)學(xué)理解1維FT
上面這個(gè)回答是從直觀視覺(jué)的角度解釋了傅里葉變換。而知友王希寫(xiě)的“我理解的傅里葉變換”則是從數(shù)學(xué)公式以及基變換的角度解釋了傅里葉變換的本質(zhì)。
王希：我理解的傅里葉變換?zhuanlan.zhihu.com看到這里，傅里葉變換就是對(duì)某個(gè)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行了基變換：把這個(gè)時(shí)域信號(hào)寫(xiě)成許多個(gè)三角基的線性組合。只不過(guò)每個(gè)基前面的系數(shù)是復(fù)數(shù)。
而為什么要用三角基呢？這是因?yàn)樗且唤M正交基，正交基向量的內(nèi)積為0，這讓我們可以通過(guò)將函數(shù)
與 做內(nèi)積的方法求得所有基的系數(shù)。( 從0取到 )其實(shí)之前我想了好久沒(méi)想明白的原因是，過(guò)于關(guān)注傅里葉變換可以把頻率分解出來(lái)，而忘記了這個(gè)頻率其實(shí)是所分解三角基的頻率。
既然FT是用三角基分解信號(hào)，那我們可不可以用別的基來(lái)分解信號(hào)呢？當(dāng)然可以，如果繼續(xù)深入就會(huì)涉及到小波變換。
- 一種理解DFT的方式
看了這個(gè)回答之后，再結(jié)合DFT的公式：
對(duì)
直接做DFT相當(dāng)于：2.對(duì)每一個(gè)沖激信號(hào)應(yīng)用DFT公式，會(huì)得到每個(gè)沖激信號(hào)的
向量3.把所有的
相加也就是說(shuō)由于傅里葉變換是線性的，所有我們可以把一個(gè)長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)分解成N個(gè)沖激信號(hào)。但是目前我不知道這樣理解的意義。
- 從幾何角度理解傅里葉變換
下面這個(gè)視頻從幾何的角度非常形象的展現(xiàn)了傅里葉變換的幾何意義。
https://www.bilibili.com/video/av19141078?www.bilibili.com我們知道傅里葉變換的公式是
考慮在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，
表示一個(gè)長(zhǎng)度為1的向量隨時(shí)間t在做頻率為 的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。而 則表示這個(gè)向量的長(zhǎng)度在隨著t變化。通俗來(lái)講，這個(gè)式子就是表示將 纏繞在原點(diǎn)上。如下圖：而積分符號(hào)在幾何上可以看作是求質(zhì)心。當(dāng)信號(hào)本身的頻率與纏繞頻率相接近時(shí)，質(zhì)心就離原點(diǎn)遠(yuǎn)；反之，當(dāng)信號(hào)本身的頻率與纏繞頻率相差很大，由于纏繞是雜亂的，也就是各向同性，曲線背分散，質(zhì)心離原點(diǎn)近。如下圖：
相信大家會(huì)看到這個(gè)圖：
現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧。
總結(jié)
這篇文章總結(jié)了幾種理解傅里葉變換的角度。直觀認(rèn)識(shí)、公式推導(dǎo)、幾何角度，這可以幫助我們對(duì)傅里葉變換有一個(gè)多方面的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，傅里葉變換里面可以討論的問(wèn)題還有許多。。。
推薦一個(gè)網(wǎng)站：里面可以把你畫(huà)的圖形用傅里葉圓上加圓的方法畫(huà)出來(lái)，是一個(gè)交互的網(wǎng)站。挺有意思的。
An Interactive Introduction to Fourier Transforms?www.jezzamon.com總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换公式_理解1维傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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