一、協方差：

可以通俗的理解為：兩個變量在變化過程中是同方向變化？還是反方向變化？同向或反向程度如何？

你變大，同時我也變大，說明兩個變量是同向變化的，這時協方差就是正的。

你變大，同時我變小，說明兩個變量是反向變化的，這時協方差就是負的。

從數值來看，協方差的數值越大，兩個變量同向程度也就越大。反之亦然。

咱們從公式出發來理解一下：

公式簡單翻譯一下是：如果有X,Y兩個變量，每個時刻的“X值與其均值之差”乘以“Y值與其均值之差”得到一個乘積，再對這每時刻的乘積求和并求出均值（其實是求“期望”，但就不引申太多新概念了，簡單認為就是求均值了）。

下面舉個例子來說明吧：

比如有兩個變量X,Y，觀察t1-t7（7個時刻）他們的變化情況。

簡單做了個圖：分別用紅點和綠點表示X、Y，橫軸是時間。可以看到X，Y均圍繞各自的均值運動，并且很明顯是同向變化的。

總結一下，如果協方差為正，說明X，Y同向變化，協方差越大說明同向程度越高；如果協方差為負，說明X，Y反向運動，協方差越小說明反向程度越高。

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一般的同學看到above the line的內容就ok了。但有一些愛鉆研的同學，可能會進一步提問：

另外，如果你還鉆牛角尖，說如果t1，t2，t3……t7時刻X，Y都在增大，而且X都比均值大，Y都比均值小，這種情況協方差不就是負的了？7個負值求平均肯定是負值啊？但是X，Y都是增大的，都是同向變化的，這不就矛盾了？

這個更好解釋了：這種情況不可能出現！

因為，你的均值算錯了……

好了，現在，對于協方差應該有點感覺了吧？

二、相關系數：

對于相關系數，我們從它的公式入手。一般情況下，相關系數的公式為：

翻譯一下：就是用X、Y的協方差除以X的標準差和Y的標準差。

所以，相關系數也可以看成協方差：一種剔除了兩個變量量綱影響、標準化后的特殊協方差。

既然是一種特殊的協方差，那它：

1、也可以反映兩個變量變化時是同向還是反向，如果同向變化就為正，反向變化就為負。

2、由于它是標準化后的協方差，因此更重要的特性來了：它消除了兩個變量變化幅度的影響，而只是單純反應兩個變量每單位變化時的相似程度。

比較抽象，下面還是舉個例子來說明：

這是為什么呢？

因為以上兩種情況下，在X、Y兩個變量同向變化時，X變化的幅度不同，這樣，兩種情況的協方差更多的被變量的變化幅度所影響了。

所以，為了能準確的研究兩個變量在變化過程中的相似程度，我們就要把變化幅度對協方差的影響，從協方差中剔除掉。于是，相關系數就橫空出世了，就有了最開始相關系數的公式：

所以標準差描述了變量在整體變化過程中偏離均值的幅度。協方差除以標準差，也就是把協方差中變量變化幅度對協方差的影響剔除掉，這樣協方差也就標準化了，它反應的就是兩個變量每單位變化時的情況。這也就是相關系數的公式含義了。

同時，你可以反過來想象一下：既然相關系數是協方差除以標準差，那么，當X或Y的波動幅度變大的時候，它們的協方差會變大，標準差也會變大，這樣相關系數的分子分母都變大，其實變大的趨勢會被抵消掉，變小時也亦然。于是，很明顯的，相關系數不像協方差一樣可以在$+\infty$ 到$?\infty$間變化，它只能在＋1到－1之間變化（相關系數的取值范圍在＋1到－1之間變化可以通過施瓦茨不等式來證明，有些復雜，這里就不贅述了，有興趣的可以google下）。

總結一下，對于兩個變量X、Y，

當他們的相關系數為1時，說明兩個變量變化時的正向相似度最大，即，你變大一倍，我也變大一倍；你變小一倍，我也變小一倍。也即是完全正相關（以X、Y為橫縱坐標軸，可以畫出一條斜率為正數的直線，所以X、Y是線性關系的）。

隨著他們相關系數減小，兩個變量變化時的相似度也變小，當相關系數為0時，兩個變量的變化過程沒有任何相似度，也即兩個變量無關。

當相關系數繼續變小，小于0時，兩個變量開始出現反向的相似度，隨著相關系數繼續變小，反向相似度會逐漸變大。

當相關系數為－1時，說明兩個變量變化的反向相似度最大，即，你變大一倍，我變小一倍；你變小一倍，我變大一倍。也即是完全負相關（以X、Y為橫縱坐標軸，可以畫出一條斜率為負數的直線，所以X、Y也是線性關系的）。

好了，講了這么多，不知你看完是否對相關系數也有了一些感覺？

原文作者GRAYLAMB
https://www.zhihu.com/question/20852004

總結

以上是生活随笔為你收集整理的「协方差」与「相关系数」的概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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