一、什么是穩(wěn)定點

一個控制系統(tǒng)就和一個社會一樣，穩(wěn)定性是首先要解決的重要問題，是其他一切工作的基礎。穩(wěn)定性問題的字面意思很好理解了，那就是系統(tǒng)在受到擾動后，能否能有能力在平衡態(tài)繼續(xù)工作。大家都知道，歷史上社會改革成本很高，且以失敗者居多，從控制論的角度來看，就是對社會這個大系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究不夠，導致擾動發(fā)生后，社會發(fā)散了。

要研究穩(wěn)定，首先要研究穩(wěn)定點，那什么是穩(wěn)定點呢？我們以發(fā)射火箭為例



可見穩(wěn)定點就是系統(tǒng)狀態(tài)不再發(fā)生變化的點，它可能不止一個，它也可能很脆弱，稍微有個擾動，就不穩(wěn)定了。

二、什么是李雅普諾夫穩(wěn)定

早在1892年，俄國有一個叫李雅普諾夫的學者發(fā)表了一篇著名的文章《運動穩(wěn)定性一般》問題，建立了關(guān)于運動穩(wěn)定的一般理論，光看這個文章的名字就不一般，也確實，在爾后百余年，這個理論在數(shù)學、力學和控制理論中全面開花，已經(jīng)成為穩(wěn)定性研究方向的基礎性理論，俄羅斯人對于數(shù)學上和工程上的直覺確實令人贊嘆。
李雅普諾夫穩(wěn)定性理論研究的是在擾動下穩(wěn)定點的穩(wěn)定性問題。
簡單來說，如果穩(wěn)定狀態(tài) $x_e$ 受到擾動后，仍然停留在 $x_e$ 附近，我們就稱 $x_e$ 在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的（Lyapunov stable）。

如果穩(wěn)定狀態(tài) $x_e$ 受到擾動后，最終都會收斂到 $x_e$，我們就稱 $x_e$在李雅普諾夫意義下是漸進穩(wěn)定的（Asymptotically stable）。

如果穩(wěn)定狀態(tài)$x_e$受到任何擾動后，最終都會收斂到 $x_e$，我們就稱 $x_e$在李雅普諾夫意義下是大范圍內(nèi)漸進穩(wěn)定的（Asymptotically stable in large）。

相反，如果穩(wěn)定狀態(tài) $x_e$ 受到某種擾動后，狀態(tài)開始偏離 $x_e$，我們就稱$x_e$ 在李雅普諾夫意義下是不穩(wěn)定的（Unstable）。

示意圖如下：

下面我們就分別具體看一下。

2.1 什么是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定

2.2 什么是漸進穩(wěn)定

2.3 什么是大范圍漸進穩(wěn)定

2.4 什么是不穩(wěn)定

三、李雅普諾夫第一法

可見，與原軌跡還是比較接近的。一般的書上，對于李雅普諾夫第一法都是一筆帶過，其實在工程實踐中，第一法應用非常多，比如復雜的飛機飛行控制，就是將飛機模型線性化成多個線性化模型進行設計，感興趣的可參見Design an LQR Servo Controller in Simulink。

四、李雅普諾夫第二法

五、MATLAB代碼

鑒于很多知友對文章中插圖的MATLAB代碼感興趣，先將部分代碼附錄如下，其余按格式更改即可。

首先是定義狀態(tài)方程函數(shù)：

function d=dxdt(t,x)d=[ x(2)+x(1)*(2-x(1)^2-x(2)^2); -x(1)+x(2)*(2-x(1)^2-x(2)^2) ];

根據(jù)狀態(tài)方程，畫出變量軌跡：

figure('color','w'); hold on for theta=[0:20]*pi/10x0=3*[cos(theta);sin(theta)];%定義初始值數(shù)組[t,x]=ode45(@dxdt,[0:0.1:8],x0);plot(x(:,1),x(:,2),'linewidth',0.5)quiver(x(:,1),x(:,2),gradient(x(:,1)),gradient(x(:,2)),'linewidth',3.0);%增加軌跡方向箭頭 end for theta=[0:2:20]*pi/10x0=1e-5*[cos(theta);sin(theta)];[t,x]=ode45(@dxdt,[0:0.2:20],x0);plot(x(:,1),x(:,2),'linewidth',0.5)quiver(x(:,1),x(:,2),gradient(x(:,1)),gradient(x(:,2)),'linewidth',1.5)xlabel('x1','FontSize',18,'FontWeight','bold','Color','r');ylabel('x2','FontSize',18,'FontWeight','bold','Color','r')title('Made by J P

https://zhuanlan.zhihu.com/p/58738073

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Lyapunov and Stability Theory的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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