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编程问答

【2020.12.30更新】信号处理常用公式（一）

發布時間：2023/12/2 编程问答 30 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【2020.12.30更新】信号处理常用公式（一）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

積化和差

$cos?αcos?β=12[cos?(α+β)+cos?(α?β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta )]$ $sin?αcos?β=12[sin?(α+β)+sin?(α?β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )]$ $sin?αsin?β=12[cos?(α?β)?cos?(α+β)]\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta )]$ $cos?αsin?β=12[sin?(α+β)?sin?(α?β)]\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta )]$

自相關與互相關

${R_X}({t_2},{t_1}) = R_X^*({t_1},{t_2})$ ${R_{XY}}({t_2},{t_1}) = R_{YX}^*({t_1},{t_2})$ $RX(t2,t1)=RX(τ),τ=t1?t2{R_X}({t_2},{t_1}) = {R_X}(\tau ),\quad \tau = {t_1} - {t_2}$

矩陣微分

$Y$ 、 $B$ 和 $R$ 均代表矩陣， $z$ 和 $a$ 代表向量，上標T表示轉置， $?$ 表示共軛，H表示共軛轉置。
$?YTB?B=Y\frac{{\partial {Y^{\mathop{\rm T}\nolimits} }B}}{{\partial B}} = Y$ $?BTY?B=Y\frac{{\partial {B^{\mathop{\rm T}\nolimits} }Y}}{{\partial B}} = Y$

規律總結： “前面”為轉置，對“不轉置”求導，結果為“另一個不轉置”

$?BTYTYB?B=2YTYB\frac{{\partial {B^{\mathop{\rm T}\nolimits} }{Y^{\mathop{\rm T}\nolimits} }YB}}{{\partial B}} = 2{Y^{\mathop{\rm T}\nolimits} }YB$ $?BTB?B=2B\frac{{\partial {B^{\mathop{\rm T}\nolimits} }B}}{{\partial B}} = 2B$ $?BTWB?B=WB+WTB\frac{{\partial {B^{\mathop{\rm T}\nolimits} }WB}}{{\partial B}} = WB + {W^{\mathop{\rm T}\nolimits} }B$
特別地， $WT=W{{W^{\mathop{\rm T}\nolimits} } = W}$ 時，
$?BTWB?B=WB+WTB=2WB\frac{{\partial {B^{\mathop{\rm T}\nolimits} }WB}}{{\partial B}} = WB + {W^{\mathop{\rm T}\nolimits} }B = 2WB$

復微分

下表給出了標量函數 $f(w)f(\boldsymbol{w})$ 和向量函數 $f(w)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{w})$ 關于可變向量 $w\boldsymbol{w}$ 和 $w?\boldsymbol{w}^{*}$ 的復數微分結果。

函數類型函數變量

w\boldsymbol{w}

變量

w?\boldsymbol{w}^{*}

標量 $f(w)f(\boldsymbol{w})$	$re?[wHx]\operatorname{re}\left[\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}\right]$	$12x?\frac{1}{2}\boldsymbol{x}^{*}$	$12x\frac{1}{2}\boldsymbol{x}$
標量 $f(w)f(\boldsymbol{w})$	$wHx\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}$	$0{\bf{0}}$	$x\boldsymbol{x}$
標量 $f(w)f(\boldsymbol{w})$	$xHw\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{w}$	$x?\boldsymbol{x}^{*}$	$0{\bf{0}}$
標量 $f(w)f(\boldsymbol{w})$	$wHRw\boldsymbol{w}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R} \boldsymbol{w}$	$RTw?=(RHw)?\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{w}^{}=\left(\boldsymbol{R}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{w}\right)^{}$	$Rw\boldsymbol{R} \boldsymbol{w}$
矢量 $f(w)\boldsymbol{f}(\boldsymbol{w})$	$H1w+H2w?\boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{w}+\boldsymbol{H}_{2} \boldsymbol{w}^{*}$	$H1T\boldsymbol{H}_{1}^{\mathrm{T}}$	$H2T\boldsymbol{H}_{2}^{\mathrm{T}}$

一個計算小技巧

已知基向量兩兩正交

$∫?∞∞fm(t)fn?(t)dt=δ(m?n)\int_{ - \infty }^\infty {{f_m}(t)f_n^*(t)dt} = \delta (m - n)$

${s(t)}$ 可由基向量線性組合近似

$s^(t)=∑k=1Kskfk(t)\hat s(t) = \sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}{f_k}(t)}$

由誤差與基向量正交，有

$?s(t)?s^(t),fn(t)?=0?sn=?s(t),fn(t)?\left\langle {s(t) - \hat s(t),{f_n}(t)} \right\rangle = 0 \Rightarrow {s_n} = \left\langle {s(t),{f_n}(t)} \right\rangle$

則誤差的二范數為

$εe=∫?∞∞(s(t)?s^(t))(s(t)?s^(t))?dt{\varepsilon _e} = \int_{ - \infty }^\infty {(s(t) - \hat s(t)){{(s(t) - \hat s(t))}^*}dt}$

$=∫?∞∞∣s(t)∣2dt?∫?∞∞∑k=1Kskfk(t)?s?(t)dt??s(t)?s^(t),s^?(t)?= \int_{ - \infty }^\infty {|s(t){|^2}dt} - \int_{ - \infty }^\infty {\sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}{f_k}(t)} \cdot {s^*}(t)dt}- \left\langle {s(t) - \hat s(t),{{\hat s}^*}(t)} \right\rangle$

$\int_{ - \infty }^\infty {|s(t){|^2}dt} - \sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}{{[\int_{ - \infty }^\infty {s(t)f_k^*(t)dt} ]}^*}}$

$\int_{ - \infty }^\infty {|s(t){|^2}dt} - \sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}s_k^*}$

$\int_{ - \infty }^\infty {|s(t){|^2}dt} - \sum\limits_{k = 1}^K {|{s_k}{|^2}}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【2020.12.30更新】信号处理常用公式（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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