有兩種算法復雜度為O(n*logn)和O(n^2)

O(n^2)算法分析如下： （a[1]...a[n] 存的都是輸入的數）
1、對于a[n]來說，由于它是最后一個數，所以當從a[n]開始查找時，只存在長度為1的不下降子序列；
2、若從a[n-1]開始查找，則存在下面的兩種可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 則存在長度為2的不下降子序列 a[n-1],a[n].
（2）若a[n-1] > a[n] 則存在長度為1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若從a[t]開始，此時最長不下降子序列應該是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一個比a[t]大的且最長的不下降子序列，作為它的后繼。
4、為算法上的需要，定義一個數組：
d:array [1..n,1..3] of integer;
d[t,1]表示a[t]
d[t,2]表示從i位置到達n的最長不下降子序列的長度
d[t,3]表示從i位置開始最長不下降子序列的下一個位置
最長不下降子序列的O(n*logn)算法分析如下：
先回顧經典的O(n^2)的動態規劃算法，設A[t]表示序列中的第t個數，F[t]表示從1到t這一段中以t結尾的最長上升子序列的長度，初始時設F[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。則有動態規劃方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。
　　現在，我們仔細考慮計算F[t]時的情況。假設有兩個元素A[x]和A[y]，滿足
　　　(1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y]
　　此時，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長上升子序列的這個位置中，應該選擇A[x]還是應該選擇A[y]呢？
　　很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因為由于條件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會得到更長的上升子序列。
　　再根據條件(3)，我們會得到一個啟示：根據F[]的值進行分類。對于F[]的每一個取值k，我們只需要保留滿足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設D[k]記錄這個值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
　　注意到D[]的兩個特點：
　　(1)　D[k]的值是在整個計算過程中是單調不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
　　利用D[]，我們可以得到另外一種計算最長上升子序列長度的方法。設當前已經求出的最長上升子序列長度為len。先判斷A[t]與D[len]。若A[t] > D[len]，則將A[t]接在D[len]后將得到一個更長的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿足D[j] < A[t]。令k = j + 1，則有D[j] < A[t] <= D[k]，將A[t]接在D[j]后將得到一個更長的上升子序列，同時更新D[k] = A[t]。最后，len即為所要求的最長上升子序列的長度。
　　在上述算法中，若使用樸素的順序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)個元素需要計算，每次計算時的復雜度是O(n)，則整個算法的時間復雜度為O(n^2)，與原來的算法相比沒有任何進步。但是由于D[]的特點(2)，我們在D[]中查找時，可以使用二分查找高效地完成，則整個算法的時間復雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在算法結束后記錄的并不是一個符合題意的最長上升子序列！
　　這個算法還可以擴展到整個最長子序列系列問題，整個算法的難點在于二分查找的設計，需要非常小心注意。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升(不下降)子序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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