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本文以c++語言為載體，對(duì)基本的模運(yùn)算應(yīng)用進(jìn)行了分析和程序設(shè)計(jì)，以理論和實(shí)際相結(jié)合的方法向大家介紹模運(yùn)算的基本應(yīng)用。。

基本理論

　　基本概念：

　　給定一個(gè)正整數(shù)p，任意一個(gè)整數(shù)n，一定存在等式 n = kp + r ；

　　其中k、r是整數(shù)，且 0 ≤ r < p，稱呼k為n除以p的商，r為n除以p的余數(shù)。

　　對(duì)于正整數(shù)p和整數(shù)a,b，定義如下運(yùn)算：

　　取模運(yùn)算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余數(shù)。

　　模p加法：(a + b) % p ，其結(jié)果是a+b算術(shù)和除以p的余數(shù)，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。

　　模p減法：(a-b) % p ，其結(jié)果是a-b算術(shù)差除以p的余數(shù)。

　　模p乘法：(a * b) % p，其結(jié)果是 a * b算術(shù)乘法除以p的余數(shù)。

　　說明：

　　1. 同余式：正整數(shù)a，b對(duì)p取模，它們的余數(shù)相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

　　2. n % p得到結(jié)果的正負(fù)由被除數(shù)n決定,與p無關(guān)。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性質(zhì)

　　（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

　　（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

　　（3）對(duì)稱性：a≡b (% p)等價(jià)于b≡a (% p)

　　（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)

運(yùn)算規(guī)則

　　模運(yùn)算與基本四則運(yùn)算有些相似，但是除法例外。其規(guī)則如下：

　　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

　　(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

　　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

　　(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）

　　結(jié)合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

　　((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

　　交換率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）

　　(a * b) % p = (b * a) % p （8）

　　分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

　　重要定理：若a≡b (% p)，則對(duì)于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

　　若a≡b (% p)，則對(duì)于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

　　若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

　　(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

若a≡b (% p)，則對(duì)于任意的c，都有ac≡ bc (%p)； （13）

基本應(yīng)用

1.判別奇偶數(shù)　　2.判別素?cái)?shù)3. 最大公約數(shù)　　4．模冪運(yùn)算

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的模运算及其性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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