王元, 文蘭, 陳木法. 數學大辭典.

ISBN: 978-7-03-027359-8

總體介紹

這本書是繼《數學辭海》之后，我讀的第二部辭典類的書籍。相比于《數學辭海》來說，《數學大辭典》的部頭要小很多，只有一冊，總共一千多頁。但從內容安排上來說《數學大辭典》要比《數學辭海》高明不少。《數學大辭典》舍棄了很多非數學的內容，并且盡量避免對同樣問題的重復論述，還簡化了數學史部分，因而可以將精力更多地集中于介紹當代的數學知識系統。

《數學大辭典》全書共分十七個部分，大致按照從基礎到前沿，從抽象到應用的順序介紹了當代數學。這本書其實完全不適合作為自學的讀本，因為它按知識本身的結構進行編排，卻不按照人學習的順序編排。要想讀懂這本書的大部分內容，起碼得學過一般的本科數學知識。這本書作為數學的百科全書也是不太合格的，因為要顧及到絕大多數的數學領域，每一個數學領域中收錄的內容都不能太多。這就導致書中很多領域的知識對于入門者來說太深，對于已經有所了解的人太淺。

但是，我還是非常推薦這本書，因為它作為一個數學知識的學習地圖是非常好用的。它的目錄基本上體現了現代數學知識的大體結構，而且沒有算術的內容在其中造成干擾。個人認為這本書的適當用法是這樣：當你想要了解一個領域的之后，去翻一翻書中的對應篇章，建立一個初步印象。然后當你系統學習過這個領域之后，再回頭翻一翻這本書查漏補缺。舉例來說，我最開始讀這本書的數理邏輯部分的時候詞條有十之七八看不懂，后來讀了基本數理邏輯的教材之后再來讀這本書，數理邏輯部分就只有十之三四的詞條看不懂了。

關于本書的整體點評就到此為止，下邊是我在讀本書各部分時候的一些隨筆。有一些領域我自己非常不熟悉，所以就一筆帶過了。

數理邏輯

本書的第一部分就是數理邏輯和數學基礎。所謂的“數學基礎”部分干貨不多，我們略過不表，就聊聊數理邏輯。

從內涵的角度來說，在數理邏輯之前，數學是數學，邏輯是邏輯。數學研究各種運算，而邏輯研究從一些真語句出發證明另一些語句為真。數理邏輯一開始與其說是“數學”不如說是用數學方法進行研究的邏輯學。其研究對象還是邏輯，只不過借用了代數等數學手段。也就是說數理邏輯把邏輯證明當成一種運算來處理。

巧的是數學上的知識往往又需要邏輯來進行論證，并且現代數學的基礎也被建立在邏輯之上，研究邏輯也就成了變相的研究數學。因此可以說數理邏輯是在用數學和邏輯來研究數學和邏輯。

從外延的角度來說，數理邏輯一般被認為由“四論”構成，既研究語言模型的模型論（書中把一階語言的知識也放到了模型論部分），研究集合的公理集合論，研究遞歸的遞歸論以及以不完全定理、形式化算術理論、二階邏輯、無窮邏輯等為主要研究內容的證明論。

數理邏輯一方面為數學其他分支（以及數理邏輯自身）提供嚴謹合適的語言和基礎，另一方面，又引入代數、概率等數學分支的知識來構造自身的理論和系統。

數論

《數學大辭典》的總主編是數論專家，因此這本書的數論部分應該是這本書比較重視的一個部分。但可惜的是，除了初等數論的相關條目，其他的我基本都看不懂。由于一些報告文學的宣傳，很多人對于“數論”一詞是很熟悉的。但以看完書中數論部分的感覺來說，其實這種熟悉感也僅僅限于“數論”這個單詞而已。對于這個領域的研究內容和方法，我自己感覺是基本上一無所知。

數論作為一個研究領域，其統一的研究內容，我是不清楚的。數論的研究方法，我也摸不著頭腦。雖然知道有個“研究自然數性質”的模糊說法，但實際讀下來，感覺并非如此。很多自然數的性質是數論不研究的，比如四則運算，比如序數結構。還有很多數論研究的內容其實涉及實數、復數等等，這已經遠遠超出了“自然數”的范疇。

按照我之前對數論的印象，數論應該是一個非常基礎性，非常抽象的學科。現在看來，抽象確實抽象，但說基礎卻不一定像集合論，遞歸論那樣基礎。反正就我印象中的數學主要分支里，沒有哪個學科是必須要建立在數論的某些知識之上的。數論和其他數學分支的關聯性也確實很難讓人察覺，似乎其他數學主要分支的基礎課都比較少用到數論中的結論。

因此，數論總體上給我的感覺一門陌生、不基礎且相對孤立的學科，而且這種孤立是有方向性的——很多其他數學可以給數論問題提供素材和方法，但數論本身的研究卻比較難出現在其他數學分支的基礎教材中出現。當然了這可能只是我的錯覺。

代數學

從研究范式的角度來說，代數學才是真正的“數學”。數學的其他各個分支其實就是各種各樣的“代數”而已。例如幾何學研究的是點線面之間的代數，分析學研究的是各種實函數、復函數之間的代數，數理邏輯研究的是邏輯的代數等等。

數理邏輯用代數的方法研究邏輯，同時其研究的“對象邏輯”又是代數方法的基礎。因而當“對象邏輯”和“元邏輯”成為一體之后，數理邏輯和代數學誰更基礎的問題就說不清了。因為它們分別在不同的意義上是“最基礎的”。

之前我很糾結代數的“代”字。因為漢語中的“代”有替代之意。既然有“替代”，那就應該有“本尊”。以前學方程的時候老師會說：本來有那么一個數能讓方程成立，但我們不知道，只好用字符“x”代替它。如果我們能直接找到本尊，顯然就不需要有代數這種代替品。最近聽說了一點摹狀詞理論之后才釋然——代數的“代”其實也是“代詞”的代。而按照摹狀詞理論，實際上我們使用的所有名詞都是“代詞”。這樣一來，就不存在替代和本尊的區別，滿足一定條件的代詞，就指代本尊。代數作為數學的根本也就顯得名正言順了。

幾何學

書中的第四部分代數幾何、第十一部分拓撲學與幾何學、第十二部分微分幾何算是幾何的內容。但由于我對幾何的了解并不多，而且想介紹的關于幾何的內容已經在《數學辭海》的讀書筆記中介紹過，所以這里就不再贅述。

分析學

書中的第五部分分析學、第六部分復分析和第九部分泛函分析算分析的內容。同樣由于我想介紹的在《數學辭海》中大都已經介紹，這里不再贅述。

微分方程

雖然對微分方程的了解不多，但我一直覺得微分方程在方法和內容上和分析學有很大不同，所以這里把微分方程單列出來。《數學大辭典》中第七部分常微分方程與動力系統和第八部分偏微分方程可以算微分方程的內容。

組合學與圖論

組合學和圖論實際上應該是兩個領域，但是《數學大辭典》把它們都放到了第十部分。

先來說組合數學，雖然組合數學是一門“學”，但個人感覺其內容豐富程度上只能夠上一個“論”，達不到“學”的程度。雖然名義上組合數學的核心是組合排列，但實際上《數學大辭典》展現出來的組合數學和初等數論數論或算術類似，是若干分立但類似的問題的集合。曾經看過一本書以生成函數為中心，貫通講解組合學，但可惜當時沒耐心看，所以也沒有弄懂是怎么回事。現在感覺組合學和集合論、概率論有很大關系，但苦于一直找不到一本合適的教材來好好學一學組合學，所以這層關系究竟是怎樣也沒有搞清楚。目前我對于組合學的了解除了組合排列、鴿巢原理、容斥原理這些東西以外，就剩一些亂七八糟的小故事了——比如萬智牌設計者理查·加菲（Richard Garfield）是組合數學博士。

然后是圖論，對于計算機來說，圖論是非常重要的，很多圖論的基本內容都被放到名為“算法與數據結構”的課中講解。這次讀《數學大辭典》的圖論部分主要有兩個收獲，一是知道了一個叫“虧格”的屬性；二是把一個困擾我很久的問題轉換為了數學的形式。這個困擾我的問題是這樣的：如果不允許跳線（也不允許兩條不連接的導線交叉），僅僅允許在一個平面內連接三極管，能否構造出各種邏輯門、運算器乃至計算機呢？直覺上我認為是不行的，如果要用數學證明，實際上這個問題就是如果把一個計算機中的所有連接都拆解到三極管級別，能否構造出一個和其等價的平面圖。如果要證明不能，只需要找到一個電路，說明其所有等價形式都不滿足歐拉公式（滿足歐拉公式是平面圖的必要條件）即可。但是因為懶，這個問題仍舊沒有解決掉。

概率論

概率論是書中第十三部分。由于我關于概率論的介紹已經寫在《數學辭海》的讀書筆記中，這里也不重復。

統計學

數理統計是書中第十四部分。書中用“數理統計”一詞用得非常準確。因為統計學不應該算作數學的分支。借由現代數學表達自身的數理統計才能和數學掛上鉤。

最近讀了一些邏輯和哲學的書之后，對統計學又有了新的認識：統計和邏輯也不是完全對等的。

在傳統的邏輯學當中，邏輯學被分為演繹邏輯和歸納邏輯兩個部分。現在的數理邏輯大致可以對應演繹邏輯，但歸納邏輯似乎一直停留在數學和邏輯結合以前。例如 [Irving M. Copi]邏輯學導論：第11版 中介紹的歸納邏輯就還是通過自然語言的模糊表述建立的。

但仔細一想，歸納邏輯似乎并未銷聲匿跡，而只是改頭換面。幾百年前的科學家通過歸納邏輯獲取新知識；現代科學中，不論是醫學實驗、誤差分析還是機器學習，都依賴統計方法進行；似乎是統計方法成為了歸納邏輯的具體范式。

然而，統計學和歸納邏輯又不能畫上等號。雖然說，歸納邏輯中關于歸納樣本數量、類比對象相似程度、特征可泛化性等的具體刻畫可以通過統計學來做，但似乎也并不是必須由統計學來做。雖然很多歸納邏輯的內容可以由統計學來替代但是否所有歸納邏輯的論題都能轉化為統計學的論題，仍然是存疑的。這些問題有待進一步的思考和討論。

其余內容

計算數學是書中第十五部分，控制論與信息論是書中第十六部分、運籌學是書中第十七部分。這幾個部分我的了解都比較有限，關于它們的大致介紹參見《數學辭海》。

《數學大辭典》的最后以附錄形式整理了一份數學史年表，這一方面只是聊勝于無，沒有什么需要點評的。

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總結

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