本系列筆記為方便日后自己查閱而寫，更多的是個(gè)人見解，也算一種學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)與總結(jié)，望善始善終吧~

一階常系數(shù)微分方程

---

Au=dudt

將一階常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵在于常系數(shù)微分方程的解一定是指數(shù)形式的。那么我們的需要求解的東西就是指數(shù)的系數(shù)和指數(shù)的冪，而這可以轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)問(wèn)題。

解的指數(shù)形式通常是自然常數(shù)e的指數(shù)（猜測(cè)是因?yàn)闀r(shí)域信號(hào)可以轉(zhuǎn)到頻域，傅里葉變換，這方面學(xué)識(shí)淺薄）

這個(gè)形式很容易讓我們聯(lián)想到之前對(duì)于矩陣A的冪的求解，這里看一個(gè)例子：

這里問(wèn)題被轉(zhuǎn)換為了求解Au=dudt

特征值與特征向量

先找A的特征值和特征向量
求解特征值
兩個(gè)小技巧：

• 行列式determinant為特征值的積
• 矩陣的跡trace為特征值的和

當(dāng)然可以直接求解determinant=0得到特征值：

由于老師直接劇透e的冪系數(shù)中為矩陣A的特征值，那么對(duì)于特征值-3來(lái)說(shuō)，隨著t的增加，最終這一項(xiàng)為0；而對(duì)于特征值0來(lái)說(shuō)，隨著t增加，最終這一項(xiàng)為某一個(gè)確定值（解會(huì)收斂）；舉一反三：對(duì)于特征值大于0，隨著t增加，解發(fā)散。

求解特征向量
兩個(gè)小技巧：

• 對(duì)于特征值為0，特征向量即為null space，free variable自由變量置1很容易求得
• 對(duì)于另一個(gè)特征值-3，利用A?λI特征向量不變，也可以轉(zhuǎn)換為求解null space

解的形式

解會(huì)是上面這樣的形式，證明：
帶入之前的公式dudt=Au
?λ1eλ1tx1=Aeλ1tx1
?λ1x1=Ax1
于是，我們可以將剛才求解出的特征值與特征向量帶入式子：

現(xiàn)在，我們只需要求解c1,c2，這可以通過(guò)初值u(0)求解，在t=0時(shí)：

口算都能得出答案是c1=c2=13
得到最終的解

所以，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)steady state（自動(dòng)控制的名詞都來(lái)了，汗）

首先是關(guān)于穩(wěn)定，我們已經(jīng)知道的是特征值小于0時(shí)，隨著時(shí)間增加，相關(guān)項(xiàng)變?yōu)?，所以當(dāng)特征值都小于0時(shí)，隨著時(shí)間增加最終趨近于0；現(xiàn)在我們想要知道當(dāng)特征值有復(fù)數(shù)的時(shí)候會(huì)怎么樣？

對(duì)于復(fù)數(shù)，其虛數(shù)部分的模norm為1，影響忽略不計(jì)，所以現(xiàn)在我們知道要想穩(wěn)定，則特征值的實(shí)數(shù)部分應(yīng)當(dāng)小于0，虛數(shù)部分無(wú)所謂。很明顯：當(dāng)其中一個(gè)特征值為0時(shí)，有一個(gè)穩(wěn)態(tài)值steady state；當(dāng)存在特征值大于0時(shí)，隨著時(shí)間增加，值發(fā)散。
看一下這樣的結(jié)論對(duì)于我們比較關(guān)注的2x2矩陣有什么指導(dǎo)意義：
要想最終穩(wěn)定，要有特征值都小于0，所以矩陣的跡trace大于0，矩陣的行列式determinant小于0

特征分解

我們的方程表明兩個(gè)變量相互耦合，特征值和特征向量的作用就在于可以實(shí)現(xiàn)解耦（又稱對(duì)角化）。

如何實(shí)現(xiàn)呢？先看我們的特征分解A=SΛS?1
要實(shí)現(xiàn)解耦的關(guān)鍵在于將u=Sv帶入原方程
dudt=Au
?Sdvdt=ASv
?dvdt=S?1ASv
?dvdt=Λv
?dv1dt=Λv1
這樣的方程用之前的結(jié)論求解，得：

老師的目的是得到結(jié)論以引出下一個(gè)環(huán)節(jié)（于是這里果斷沒看懂）：

關(guān)于eAt

要了解自然常數(shù)的矩陣次冪，我們最好把它展開。

泰勒級(jí)數(shù)展開：

其對(duì)于的矩陣形式：

下面的式子可以在t很小時(shí)求解矩陣的逆，當(dāng)可以注意到，上面的式子最終總會(huì)收斂，而下面的式子只有當(dāng)At的特征值的絕對(duì)值小于1才能收斂。這里我們只關(guān)注上面的式子。
帶入特征分解的公式：

將I=SS?1，化簡(jiǎn)得eAt=SeλtS?1，這些公式成立的前提是A可以對(duì)角化.
從這個(gè)角度來(lái)觀察我們之前的情況：
u(t)=SeΛtS?1u(0)

我們可以得到一樣的結(jié)論，這里的結(jié)論比之前更為一般化，為了直觀了解，畫出來(lái)：

左半平面，特征值的實(shí)數(shù)部分小于0，最終會(huì)有一個(gè)穩(wěn)態(tài)值steady state；什么時(shí)候穩(wěn)態(tài)值為0？特征值的絕對(duì)值都小于1時(shí)（之前泰勒展開的結(jié)論），這張圖很像根軌跡圖有木有？！

關(guān)于二階微分方程

利用一些小技巧，換成我們熟悉的樣子，現(xiàn)在關(guān)鍵在于找到矩陣A:

手寫可以寫出來(lái)啦：

推廣到N階（這里以5階為例）：

矩陣A第一行為原方程的系數(shù)，底下類似單位矩陣。
這樣就可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一階微分方程了、

PS：另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/14053183

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/ThreeDayMemory/p/5958696.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第二十三课 微分方程与exp(At)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。